,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.1,空间向量及其加减运算,一、平面向量复习,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示；,字母表示法：,用字母,a,、,b,等或者,用有向线段,的起点与终点字母 表示,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,A,B,C,D,平面向量的加减法运算,向量的加法：,a,b,a,+,b,平行四边形法则,a,b,a,+,b,三角形法则,(首尾相连),同学们可以根据位移模型来学习理解。,向量的减法,a,b,a,-,b,三角形法则,减向量,终点指向,被减向量,终点,减法不用另起炉灶，而是减去一个向量就是加上这个向量的相反向量，把减法转化为加法,。,平面向量的加法运算律,加法交换律：,a,b,b,a,加法结合律：,(,a,b,),c,a,(,b,c,),推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,二、空间向量及其加减运算,空间向量：,空间中具有,大小,和,方向,的量叫做向量,定义：,表示方法,：,空间向量的表示方法和平面向量一样；,空间任意两个向量都可以用同一平面,内的两条有向线段表示,同向且等长的有向线段表示同一向量或,相等的向量；,2.,空间向量的加法、减法向量,a,+,b,a,b,A,B,b,C,O,a,-,b,因为平移不改变向量的大小和方向，所以空间向量的加减可以转化为平面向量的加减。空间中通过平移任何两向量都共面,空间向量加法运算律,加法交换律：,a,+,b,=,b,+,a,；,加法结合律：,(,a,+,b,),+c,=,a,+(,b,+,c,),；,a,b,c,a,+,b+c,a,b,c,a,+,b+c,a,+,b,b+c,为什么在空间向量的运算量依然成立那就是在证明运算量时下图即可以看成平面图形也可以看成空间图形。,对空间向量的加法、减法的说明,空间向量的运算就是平面向量运算的推广,两个向量相加的平行四边形法则在空间仍,然成立,空间向量的加法运算可以推广至若干个向,量相加,推广,首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：,此图即可以看成平面图形也可以看成空间图形。所以平面内向量的结论依然在空间成立。,首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,此图即可以看成平面图形也可以看成空间图形。所以平面内向量的结论依然在空间成立。,例1、给出以下命题：,（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；,（2）若空间向量 满足 ，则 ；,（3）在正方体 中，必有 ；,（4）若空间向量 满足 ，则 ；,（5）空间中任意两个单位向量必相等。,其中不正确命题的个数是（）,A.1 B.2 C.3 D.4,C,变式：,如图所示，长方体中，,AD=2，AA,1,=1，AB=3。,（1）,是写出与 相等的所有向量；,（2）写出与向量 的相反向量。,平行六面体：,平行四边形,ABCD,平移向量,a,到,A,1,B,1,C,1,D,1,的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,A,1,D,1,C,1,B,1,B,A,C,D,记作,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1，,它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。,a,同学们注意平行六面体有另外种生成方式，即换个角度看平行六面体。,A,B,C,D,A,B,C,D,例,2,解：,A,B,C,D,A,B,C,D,始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量,为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量,例3、在如图所示的平行六面体中，,求证：,A,B,C,D,A,B,C,D,变式：,已知平行六面体 则下列四式中：,其中正确的是,。,例4、如图所示，在正方体 中，下列各式中运算的结果为向量 的共有（）,A.1 B.2 C.3 D.4,变式：,平面向量,概念,加法,减法,数乘,运算,运,算,律,定义,表示法,相等向量,减法,:,三角形法则,加法,:,三角形法则或,平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,加法交换律,加法结合律,小结,加法交换律,加法结合律,类比、数形结合,