单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,1,页,第三章 离散傅里叶变换,五、频域采样定理,时域抽样,:,对一个频带有限的信号,根据采样定理对其进行采样,所得采样序列的频谱是原带限连续信号频谱的周期延拓,主要满足奈奎斯特采样定理，采样信号的频谱不发生混叠，可完全不失真由采样序列恢复原信号。,频域抽样,:,对有限长序列进行,DFT,所得,X(k),是序列傅氏变换的采样，故,DFT,就是频域抽样。这种频域采样的采样需要满足怎样的条件？是如何恢复连续频谱的？如何才能不失真的恢复呢？,2024/11/17,五、频域采样定理时域抽样:,1.,时域采样造成频域以采样角频率为周期,周期延拓。,2.,时域采样后频域不会发生混叠的条件是：,。,3.,时域无失真采样后可以通过理想低通滤波器恢复原信号。,采样信号的频谱,图,采样恢复图,2024/11/17,1.时域采样造成频域以采样角频率为周期,周期延拓。2.时域采,对,X(z),在单位圆等距采样有：,当,k,取整数时，显然由于 ，是一个周期为,N,的周期序列。,对绝对可和的序列,x(n),，收敛域包括单位圆。,通过这样的周期序列能否恢复出原序列,x(n),？,采样,Z,变换,2024/11/17,对X(z)在单位圆等距采样有：对绝对可和的序列x(n)，收敛,对 取,IDFS,有：,即：,X(z),单位圆上等距采样点的反变换 是非周期信号,x(n),以,N,为周期的延拓，时域序列延拓周期长度,N,对应了频域的采样点数。,2024/11/17,对 取IDFS有：即：X(z)单位圆上等距,讨论,:,1)x(n),为无限长序列：不管如何采样，频域采样点数,N,为有限长，,将以周期,N,延拓，必然造成时域的混叠，不可能无失真恢复出时域信号。,可见：时域采样导致频域周期延拓。,频域采样导致时域周期延拓。,2),x(n),为有限长,M,点序列：当频域采样点数,NM,时，,以,N,点周期延拓，必然造成混叠。,2024/11/17,讨论:可见：时域采样导致频域周期延拓。2)x(n)为有,3),有限长,M,点序列,，频域采样不失真的条件是频域采样点数,NM,，从而：,5),对有限长序列，当,NM,时，,N,点频域采样,X(k),可不失真恢复,x(n),，从而也一定能不失真恢复,X(z),和,X(j,),。,4),点数为,N,的有限长序列可用,Z,变换在单位圆上的,N,个均分点的采样值精确表示。,2024/11/17,3)有限长M点序列，频域采样不失真的条件是频域采样点数NM,对有限长,N,点序列,x(n),：存在如下,DFT,对：,频域采样恢复,对原序列,x(n),进行,Z,变换有：,2024/11/17,对有限长N点序列x(n)：存在如下DFT对：频域采样恢复对原,定义内插公式：,2024/11/17,定义内插公式：,将内插函数写成如下式:,故：零极对消有：,。,。,。,。,。,。,。,内插函数仅在本采样点k处不 为零,其他(N-1)个采样点均为零。,内插函数的特性,2024/11/17,将内插函数写成如下式:。内插函数仅在本采样点k处,频响特性,单位圆上的,z,变换即为频响,代入,其中：,可见：,是,和,k的函数,令：,从而有：,2024/11/17,频响特性单位圆上的z变换即为频响,显然,：,即：在每个采样点上，精确的等于,X(k),，而采样点之间的值由加权插值函数叠加而成。,2024/11/17,显然：即：在每个采样点上，精确的,有限长,N,的序列,x(n),的,Z,变换由单位圆上的,N,个独立采样值唯一确定。,Z,变换的两种表现形式：,总 结,2024/11/17,有限长N的序列x(n)的Z变换由单位圆上的N个独立采样值唯一,当,x(n),为线性时不变系统的单位冲激响应,h(n),时：,即,H(z),可看做是由,N,个采样带通滤波器并联构成。,2024/11/17,当x(n)为线性时不变系统的单位冲激响应h(n)时：,