单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微分中值定理和导数的应用,第四章,闷兼鸡逸贵当瑞卓腕渐癌琵硝汗曳儒村灭冕朱嘲辰款龚三泰疟文依制腺巍第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,1,微分中值定理和导数的应用第四章闷兼鸡逸贵当瑞卓腕渐癌琵硝汗曳,微分中值定理的核心是,拉格朗日,(Lagrange),中值定理，,费马定理,是它的预备定理，,罗尔定理,是它的特例，,柯西定理,是它的推广。,1.预备定理费马(,Fermat,)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。,第一节 微分中值定理,详墨源翅虑疲系付音档娟趣森滤糙竹详片传钩裸铝则幽前绅碟印短码污瑞第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,2,微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange),几何解释:,1.预备定理费马(,Fermat,)定理,曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是,水平,的。,呵搀警姚砸逐案塞什婶乓辐砖桩椭靶卡丙吐烫缔贰滚举威挖蒸洛府院躲剂第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,3,几何解释:1.预备定理费马(Fermat)定理,证明,:,极限的保号性,裸耿狮存戍无胶搓骇遇肢填釉州墒令弛拥锐滔滨烦贩术结裴毋伊灼但赐车第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,4,证明:极限的保号性裸耿狮存戍无胶搓骇遇肢填釉州墒令弛拥锐滔滨,2.罗尔(,Rolle,)定理,x,O,y,C,x,a,b,y,=,f,(,x,),A,B,几何解释:,如果连续光滑的曲线,y,=,f,(,x,)在端点,A,、,B,处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点,C,(,x,f,(,x,)，曲线在,C,点的切线是水平的。,如果函数,y,f,(,x,)满足条件：(1)在闭区间,a,b,上连续，(2)在开区间(,a,b,)内可导，(3),f,(,a,),f,(,b,)，则至少存在一点,x,(,a,b,)，使得,f,(,x,),0。,涅其旷镀灸咬砸奢应畸早才驮钩腾菊旋烁塌乃漠矫鸯了舷功翻肩冶纂墅淑第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,5,2.罗尔(Rolle)定理xO yCx aby=f(x),证,由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。,乃柳篙附貌误讲抬膛梨衅菩冉钨率簧斤藐率咯鲜佃地浚琉抨蛔默御荐于绚第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,6,证由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。乃柳篙,注意：,f,(,x,)不满足条件(1),f,(,x,)不满足条件(3),f,(,x,)不满足条件(2),B,x,O,y,A,a,b,x,O,y,A,B,a,b,c,x,O,y,A,B,a,b,如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。,潍韩诽休漂克诲坡鸳蒲琼习烈赴喀忿入刺监眠胯诲糟思宿屁夷生极宿罐盒第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,7,注意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3,例1,验证,皱盐泉驳酋碉摩瑰痒骆墨蟹栋党邦厘年尾页素强铭鬼凉寅锌费榜再绞烛歌第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,8,例1验证皱盐泉驳酋碉摩瑰痒骆墨蟹栋党邦厘年尾页素强铭鬼凉寅锌,例2,不求导数，判断函数,f,(,x,),=,(,x,-,1)(,x,-,2)(,x,-,3)的导数有几个零点，以及其所在范围。,解,f,(1),=,f,(2),=,f,(3),=,0，,f,(,x,)在1,2，2,3上满足罗尔定理的三个条件。,在(1,2)内至少存在一点,x,1,，使,f,(,x,1,),=,0，,x,1,是,f,(,x,)的一个零点。,在(2,3)内至少存在一点,x,2,，使,f,(,x,2,),=,0，,x,2,也是,f,(,x,)的一个零点。,f,(,x,)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。,思考：,f,(,x,)的零点呢？,售苇童血抗柜寡基五绩雷没伪铡赢付潭循拈低疾靠肖恿综脏淳暴低局革父第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,9,例2 不求导数，判断函数f(x)=(x-,例3,证,结论得证.,涌菩跳然拙峙弘竣藻囤友电济右滴钒仟异濒佳购销拳要平庄练得缝防报敌第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,10,例3证结论得证.涌菩跳然拙峙弘竣藻囤友电济右滴钒仟异濒佳购,证,例4,惦习宰祝垒沮统挡年诸茫搪障榷听掳醇蓄解俘见戊矣绳恕押纯矮成溉昼既第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,11,证例4惦习宰祝垒沮统挡年诸茫搪障榷听掳醇蓄解俘见戊矣绳恕押纯,证,例5,反檬烤鸯驱靡瑚们役沏冻彪汇亡描白衫绒贝让叮十淹询侦评汾糊垛多器硷第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,12,证例5反檬烤鸯驱靡瑚们役沏冻彪汇亡描白衫绒贝让叮十淹询侦评汾,如果函数,f,(,x,)满足：(1)在闭区间,a,b,上连续，(2)在开区间(,a,b,)内可导，则至少存在一点,x,(,a,b,)内，使得,几何意义：,3.拉格朗日(,Lagrange,)中值定理,C,2,h,x,O,y,A,B,a,b,y=f,(,x,),C,1,x,并怠水例丘味钒娩钾狈敢辞锋哎乐和篆宏则署郭澈彭喳综痕宣毖藻喧得洽第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,13,如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a,证明,作辅助函数,主峪硷枯安怒捧猪邑轴丰浚耻昧缠懈田孵酋血厉饥抄潞屠悬蛰苫篷疫兢签第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,14,证明作辅助函数 主峪硷枯安怒捧猪邑轴丰浚耻昧缠懈田孵酋血厉饥,例6,汇拔拥劈雪灼宁全忘镀氯亦鸭菏嗽动乏旱秆帖拔父洗截析施钾球伊少知患第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,15,例6汇拔拥劈雪灼宁全忘镀氯亦鸭菏嗽动乏旱秆帖拔父洗截析施钾球,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,或,特别地,或,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,敖壶雅著硼凌楞砒措蓝烤窟戍啃轴险仑居畔扰偶睦苏桨丧舔攀锯再乎疤竹第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,16,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特别地,或拉格朗日中值公,推论1,证明,诊顾推臃勾魁岗虞者书应沿缕倔蝇昨拂见拄夷比勋纲史慢式裂矿综捉薄粳第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,17,推论1证明诊顾推臃勾魁岗虞者书应沿缕倔蝇昨拂见拄夷比勋纲史慢,推论2,证明,即得结论。,墙工逾猩詹缀令夷靴茬驾盛寸野变舔晶硕企步扬僳昼畅沂穿碱铁啥援演康第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,18,推论2证明即得结论。墙工逾猩詹缀令夷靴茬驾盛寸野变舔晶硕企步,例7,证,由推论1知,铆悦递喧卒酝证裁岁稼芹朴炬抢著鲁镣碉雁盏杀凑愿鬃氛楼介锐桥捌餐抓第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,19,例7证由推论1知,铆悦递喧卒酝证裁岁稼芹朴炬抢著鲁镣碉雁盏杀,利用拉格朗日定理证明不等式,例8,证,考泪抬耕万汉久争返蠕搭鸡孵惧北闻蕉呻涕呸答龚棵员增铆荔滓琢妙滔哉第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,20,利用拉格朗日定理证明不等式例8证考泪抬耕万汉久争返蠕搭鸡孵惧,例9,证,由上式得,斟老堰裁否邱妨再吾膘质镭材外圈蛆路筏陌临钡嚏禹睫赴春祭夹碱了漳维第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,21,例9证由上式得斟老堰裁否邱妨再吾膘质镭材外圈蛆路筏陌临钡嚏禹,例10,证,类似可证：,推论,狠岿凋迟故捂踢谭报盟志拳这提獭蔬沦梅榔睦残濒浦限创礼咏耳惫八登臃第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,22,例10证类似可证：推论狠岿凋迟故捂踢谭报盟志拳这提獭蔬沦梅,4.柯西(,Cauchy,)中值定理,设函数,f,(,x,)及,g,(,x,)满足条件：,(1)在闭区间,a,b,上连续，,(2)在开区间(,a,b,)内可导，,(3)在(,a,b,)内任何一点处,g,(,x,)均不为零，,则至少存在一点,x,(,a,，,b,)内，使得,如果取,g,(,x,),x,，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.,说明,：,证略.,濒伙舰扣筏拴悉肢鹊姻著埃高腮逛鲸睫豁盒汹湿诵位贼莎浑钎荧夜揉朗刻第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,23,4.柯西(Cauchy)中值定理 设函数f,P148 习题四,练习,：,竿匣槛衰霞屯稿矿同吏箩绵纳志杂舰蹭渝心赵稼漠西屎邯泅韧室转误置倒第一节微分中值定理79704第一节微分中值定理79704,24,P148 习题四练习：竿匣槛衰霞屯稿矿同吏箩绵纳志杂舰,