单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,第八章,多元函数微分法,及其应用,D,x,y,z,O,M,?,x,y,P,),(,y,x,f,z,?,1 第八章 多元函数微分法 及其应用 DxyzOM?x,2,第一节,多元函数,的基本概念,预备知识,多元函数的概念,多元函数的极限,多元函数的连续性,小结,思考题,作业,function of many variables,第八章,多元函数微分法及其应用,2 第一节 多元函数的基本概念 预备知识 多元函数的概念 多,3,一、预备知识,1.,平面点集,n,维空间,一元函数,1,R,平面点集,2,R,n,维空间,n,R,实数组,(,x,y,),的全体,即,),(,2,R,y,x,y,x,R,R,R,?,?,?,?,建立了坐标系的平面称为坐标面,.,坐标面,坐标平面上具有某种性质,P,的点的集合,称为,平面点集,记作,.,),(,),(,P,y,x,y,x,E,具有性质,?,(1),平面点集,二元有序,多,元,函,数,的,基,本,概,念,3 一、预备知识 1.平面点集 n 维空间 一元函数,4,邻域,(Neighborhood),设,P,0,(,x,0,y,0,),是,xOy,平面上的一个点,几何表示：,O,x,y,.,P,0,),(,),(,),(,),(,2,0,2,0,0,?,?,?,?,?,?,?,y,y,x,x,y,x,P,U,0,邻域,的,点,?,P,多,元,函,数,的,基,本,概,念,令,0,?,?,).,(,0,P,U,有时简记为,2,R,称之为,将邻域去掉中心,也可将以,P,0,为中心的,某个矩形内,(,不算周界,),注,称之为,的全体点称之为点,P,0,邻域,.,去心邻域,.,),(,0,?,P,U,?,4 邻域 (Neighborhood)设P0(x0,5,(1),内点,显然,E,的内点属于,E,.,E,P,?,点,),(,E,P,U,?,使,多,元,函,数,的,基,本,概,念,E,(2),外点,如果存在点,P,的某个邻域,),(,P,U,则称,P,为,E,的,外,点,.,(3),边界点,如点,P,的,任一,邻域内既有属于,E,的点,也有不属于,E,的点,称,P,为,E,的,边界点,.,任意一点,2,R,P,?,2,R,E,?,与任意一点集,之间,必有以下三种关系中的一种,:,设,E,为一平面点集,0,?,?,若存在,称,P,为,E,的,内点,.,1,P,?,),(,1,P,),(,2,P,2,P,?,3,P,?,),(,3,P,E,的边界点的全体称为,E,的,边,界,记作,.,E,?,使,U,(,P,),E,=,?,5 (1)内点 显然,E的内点属于E.,EP?点,),6,聚点,多,元,函,数,的,基,本,概,念,如果对于任意给定的,0,?,?,点,P,的去心邻域,),(,?,P,U,内总有,E,中的点,则称,P,是,E,的,聚,点,.,例如,设点集,(,P,本身可属于,E,也可不,属于,E,),2,1,),(,2,2,?,?,?,?,y,x,y,x,E,),(,2,0,0,R,y,x,P,?,点,2,1,2,0,2,0,?,?,?,y,x,若,则,P,为,E,的内点,;,1,2,0,2,0,?,?,y,x,若,2,2,0,2,0,?,?,y,x,或,则,P,为,E,的边界点,也是,E,的聚点,.,E,的边界,E,?,为集合,.,2,),(,1,),(,2,2,2,2,?,?,?,?,y,x,y,x,y,x,y,x,?,6 聚点 多元函数的基本概念,7,平面区域,(,重要,),设,D,是,开集,.,连通的开集称,区域,多,元,函,数,的,基,本,概,念,连通的,.,如对,D,内任何两点,都可用折线连,且该折线上的点都属于,D,称开集,D,是,?,或,开区域,.,如,都是区域,.,4,1,),(,2,2,?,?,?,y,x,y,x,0,),(,?,?,y,x,y,x,开集,若,E,的任意一点,都是内点,例,4,1,),(,2,2,1,?,?,?,?,y,x,y,x,E,?,称,E,为,开集,.,E,1,为,开集,.,0,?,?,y,x,0,?,?,y,x,O,x,y,结起来,?,?,?,7 平面区域(重要)设D是开集.连通的开集称区域,8,开区域连同其边界,称为,有界区域,否则称为,多,元,函,数,的,基,本,概,念,都是闭区域,.,4,1,),(,2,2,?,?,?,y,x,y,x,0,),(,?,?,y,x,y,x,如,总可以被包围在一个以原点为中心、,适当大的圆内的区域,称此区域为,半径,(,可伸展到无限远处的区域,).,闭区域,.,有界区域,.,无界区域,8 开区域连同其边界,称为 有界区域 否则称为 多元函数,9,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,有界开区域,有界半开半闭区域,有界闭区域,无界闭区域,多,元,函,数,的,基,本,概,念,9 O x y O x y O x y O x y 有界,10,n,元有序数组,),(,2,1,n,x,x,x,?,),(,2,1,n,x,x,x,?,的全体,;,n,R,n,维空间中的每一个元素,称为空间中,k,x,数,称为该点的第,k,个坐标,.,n,维空间中两点,),(,2,1,n,x,x,x,P,?,的距离定义为,2,2,2,2,2,1,1,),(,),(,),(,n,n,y,x,y,x,y,x,PQ,?,?,?,?,?,?,?,?,n,维空间中点,0,P,记作,及,),(,2,1,n,y,y,y,Q,?,.,),(,0,0,n,R,P,PP,P,P,U,?,?,?,的,?,邻域为,(2),n,维空间,多,元,函,数,的,基,本,概,念,n,维空间,.,称为,即,.,2,1,),(,2,1,?,?,?,?,i,R,x,x,x,x,i,n,的一个点,?,?,?,?,?,R,R,R,R,n,?,10 n 元有序数组),(21nxxx?),(21,11,二、多元函数的概念,1.,二元函数的定义,例,理想气体的状态方程是,V,T,R,p,?,称,p,为两个变量,T,V,的函数,其中,(1),定义,如温度,T,、体积,V,都在变化,则压强,p,依赖,多,元,函,数,的,基,本,概,念,(,R,为常数,),RT,pV,?,其中,p,为压强,V,为体积,T,为温度,.,于,T,V,的关系是,0,?,?,?,T,.,0,?,?,?,V,11 二、多元函数的概念 1.二元函数的定义 例 理想气,12,按着这个关系有确定的,点集,D,称为该函数,),(,y,x,f,z,?,),),(,(,P,f,z,?,或,称为该函数的,?,?,D,y,x,y,x,f,z,z,?,?,),(,),(,则称,z,是,x,y,的,定义,1,若变量,z,与,D,中的变量,x,y,之间有一个依赖关系,设,D,是,xOy,平面上的点集,使得在,D,内,每取定一个点,P,(,x,y,),时,z,值与之对应,多,元,函,数,的,基,本,概,念,记为,称,x,y,为,的,数集,二元,(,点,),函数,.,称,z,为,自变量,因变量,定义域,值域,.,12 按着这个关系有确定的 点集D称为该函数),(yxfz,13,二元及二元以上的函数统称为,(2),多元函数定义域,定义域为,符合实际意义,的,自变量取值的全体,.,记为,函数,在点,处的函数值,),(,y,x,f,z,?,),(,0,0,y,x,P,),(,0,0,y,x,f,多,元,函,数,的,基,本,概,念,).,(,0,P,f,或,类似,可定义,n,元函数,.,多元函数,.,实际问题中的函数,:,自变量取值的全体,.,纯数学问题的函数,:,定义域为使,运算有意义,的,13 二元及二元以上的函数统称为(2)多元函数定义域 定,14,例,求下面函数的定义域,解,O,x,y,无界闭区域,xy,z,?,.,1,和,?,?,?,?,?,0,0,y,x,?,?,?,?,?,0,0,y,x,多,元,函,数,的,基,本,概,念,即定义域为,0,?,xy,14 例 求下面函数的定义域 解 O x y 无界闭区域,15,?,1,解,O,x,y,1,2,.,2,2,2,2,2,?,?,?,?,?,y,x,y,x,x,z,1,),1,(,2,2,?,?,?,y,x,定义域是,1,2,2,?,?,y,x,且,有界半开半闭区域,多,元,函,数,的,基,本,概,念,15?1解 O x y 12.22222?yxyx,16,用联立不等式表示下列平面闭区域,D,.,圆弧,直线,:,有下列三种表示法,域,D,解,0,1,?,?,?,x,1,0,?,?,x,多,元,函,数,的,基,本,概,念,x,O,y,1,1,?,1,?,?,?,?,?,?,),1,(,1,2,2,?,?,y,x,0,?,y,1,?,?,y,x,?,?,?,),2,(,0,1,?,?,?,y,1,1,2,?,?,?,?,?,y,x,y,?,?,?,),3,(,0,1,2,?,?,?,?,y,x,及,?,?,?,0,1,?,?,?,y,x,D,16 用联立不等式表示下列平面闭区域 D.圆弧 直,17,2.,二元函数的几何意义,研究单值函数,二元函数的图形通常是一张,多,元,函,数,的,基,本,概,念,曲面,.,),(,y,x,f,z,?,D,x,y,z,O,M,?,x,y,P,17 2.二元函数的几何意义 研究单值函数 二元函数的,18,2,2,2,y,x,R,z,?,?,?,的图形是双曲抛物面,.,多,元,函,数,的,基,本,概,念,如,由空间解析几何知,函数,的图形是以原点为中心,R,为半径的上半球面,.,又如,xy,z,?,最后指出,从一元函数到二元函数,在内容,和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元,函数之间差异不大,.,因此研究多元函数时,将以,二元函数为主,.,18 222yxRz?的图形是双曲抛物面.多元函数的,19,三、多元函数的极限,讨论二元函数,怎样描述呢,?,O,x,y,(1),P,(,x,y,),趋向于,P,0,(,x,0,y,0,),的,),(,y,x,f,z,?,.,),(,),(,0,0,0,时的极限,即,y,x,P,y,x,P,?,回忆,:,一元函数的极限,路径又是多种多样的,.,注,0,0,y,y,x,x,?,?,当,多,元,函,数,的,基,本,概,念,方向有任意多个,?,),(,0,0,y,x,),(,y,x,),(,y,x,),(,y,x,),(,y,x,),(,y,x,),(,y,x,?,),(,0,0,y,x,),(,y,x,),(,y,x,),(,y,x,O,x,y,19 三、多元函数的极限 讨论二元函数,20,(2),变点,P,(,x,y,),这样,可以在一元函数的基础上得出,二元函数极限的一般定义,.,?,?,?,?,?,2,0,2,0,),(,),(,y,y,x,x,?,),(,),(,0,0,0,y,x,P,y,x,P,?,?,0,?,?,多,元,函,数,的,基,本,概,念,0,PP,总可以用,来表示极限过程,:,与定点,P,0,(,x,0,y,0,),之间的距离记为,不论,的过程多复杂,),(,),(,0,0,y,x,P,y,x,P,趋向于,20(2)变点P(x,y)这样,可以,21,0,?,?,?,),(,),(,0,2,0,2,0,?,?,?,?,?,?,y,y,x,x,当,0,?,?,?,),(,y,x,f,z,A,?,为,则称,A,y,x,f,y,x,y,x,?,?,),(,lim,),(,),(,0,0,记作,),0,(,),(,?,?,?,A,y,x,f,或,多,元,函,数,的,基,本,概,念,),(,?,?,?,定义,2,有,成立,.,的极限,.,时,当,),(,),(,0,0,y,x,y,x,?,设二元函数,P,0,(,x,0,y,0,),是