单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,9.6,对称矩阵的标准形,9.6,对称矩阵的标准形,一、实对称矩阵的一些性质,二、对称变换,三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵,四、实二次型的主轴问题,9.6 对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二,1,一、,实对称矩阵的一些性质,引理,1,设,A,是实对称矩阵，则,A,的特征值皆为实数,证：设 是,A,的任意一个特征值，则有非零向量,满足,一、实对称矩阵的一些性质引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征,2,其中 为 的共轭复数，,令,又由,A,实对称，有,其中 为 的共轭复数，令又由A实对称，有,3,由于是非零复向量，必有,故,考察等式，,由于是非零复向量，必有故 考察等式，,4,引理,2,设,A,是实对称矩阵，在,n,维欧氏空间 上,定义一个线性变换如下：,则对任意有,或,引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上定义一个线,5,证：取 的一组标准正交基，,则在基 下的矩阵为,A,，即,任取,证：取 的一组标准正交基，则在基,6,即,于是,又 是标准正交基，,即于是又 是标准正交基，,7,即有,又注意到在 中,二、,对称变换,1,定义,则称为,对称变换,设为欧氏空间,V,中的线性变换，如果满足,即有又注意到在 中 二、对称变换1定义则称为对称变,8,1,）,n,维欧氏空间,V,的对称变换与,n,级实对称矩阵在,标准正交基下是相互确定的：,2,基本性质,实对称矩阵可确定一个对称变换,一组标准正交基,事实上，设,为,V,的,定义,V,的线性变换：,则即为,V,的对称变换,1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是,9,对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵,为,V,的一组标准正交基，,事实上，设为,n,维欧氏空间,V,上的对称变换，,为,在这组基下的矩阵，即,或,对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵为V的一组标准,10,于是,即,所以,A,为对称矩阵,由是对称变换，有,于是即所以A为对称矩阵由是对称变换，有,11,2,）（,引理,3,）对称变换的不变子空间的正交补也是,它的不变子空间,对,任取,即,证明：设是对称变换，,W,为的不变子空间,要证,即证,由,W,是 子空间，有,因此,故 也为的不变子空间,2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间,12,1,(,引理,4,),实对称矩阵属于不同特征值的特征向量,分别是属于 的特征向量,则,三、,实对称矩阵的正交相似对角化,是正交的,正交基下的矩阵，,证：设实对称矩阵,A,为 上对称变换的在标准,是,A,的两个不同特征值，,由,1(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于,13,又,即 正交,(,定理,7,),对 总有正交矩阵,T,，使,有,即,又即 正交(定理7)对 总,14,证：设,A,为 上对称变换在标准正交基下的矩阵,由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证,有,n,个特征向量作成的标准正交基即可,n=1,时，结论是显然的,对 的维数,n,用归纳法,有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即,假设,n,1,时结论成立，对 设其上的对称变换,证：设A为 上对称变换在标准正交基下的矩阵由实对称矩,15,设子空间,显然,W,是 子空间，,则 也是 子空间，且,又对有,所以是 上的对称变换,由归纳假设知 有,n,1,个特征向量,构成 的一组标准正交基,设子空间显然W是 子空间，则 也是,16,从而就是 的一组标准正交基，,又都是 的特征向量,即结论成立,3,实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤,设,(i),求出,A,的所有不同的特征值：,其重数 必满足,;,(ii),对每个 ，解齐次线性方程组,从而就是 的一组标准正交基，又都是,17,求出它的一个基础解系：,它是,A,的属于特征值 的特征子空间 的一组基,正交基,把它们按 正交化过程化成 的一组标准,(iii),因为 互不相同，,且,就是,V,的一组,标准正交基,所以,求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值 的特征子空间,18,则,T,是正交矩阵，且,将,的分量依次作,矩阵,T,的第,1,，,2,，,，,n,列，,使 为对角形,例,1,设,求一正交矩阵,T,使 成对角形,则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1，2，n列，,19,解：先求,A,的特征值,A,的特征值为 （三重）,解：先求A的特征值A的特征值为 （三重）,20,其次求属于 的特征向量，即求解方程组,得其基础解,其次求属于 的特征向量，即求解方程组得其,21,把它正交化，得,再单位化，得,把它正交化，得 再单位化，得,22,这是特征值,(,三重,),的三个单位正交特征向量，,也即是特征子空间 的一组标准正交基,这是特征值 (三重)的三个单位正交特征向量，也,23,再求属于 的特征向量，即解方程组,得其基础解,再求属于 的特征向量，即解方程组得其基础解,24,再单位化得,这样 构成 的一组标准正交基，它们,都是,A,的特征向量，正交矩阵,再单位化得 这样 构成 的一组标准正交基，它,25,使得,注：,成立的正交矩阵不是唯一的,对于实对称矩阵,A,，使,而且对于正交矩阵,T,还可进一步要求,使得 注：成立的正交矩阵不是唯一的 对于实对称矩阵,26,事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵,T,取正交矩阵,则 是正交矩阵且,同时有,事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵则,27,如果不计较主对角线上元素的,排列的次序，与,实对称矩阵,A,正交相似的对角矩阵是唯一确定的,因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可,用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：,设 为实对称矩阵,A,的所有特征值,(i)A,为正定的,(ii)A,为半正定的,(iii)A,为负定（半负定）的,如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与实对称矩阵A正交,28,(iv)A,为不定的,且,实对称矩阵,A,的正、负惯性指数分别为正、负特,特征值的个数（重根按重数计）,n,秩,(A),是,0,作为,A,的特征值的重数,.,(iv)A为不定的且 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别,29,1,解析几何中主轴问题,将 上有心 二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标,的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵,.,四、实二次型的主轴问题,2,任意,n,元实二次型的正交线性替换化标准形,1,）,正交线性替换,如果线性替换,X=CY,的矩阵,C,是正交矩阵，则称之为,正交线性替换,.,1解析几何中主轴问题将 上有心 二次曲线或 上有,30,2,）,任一,n,元实二次型,都可以通过正交的线性替换 变成平方和,其中平方项的系数 为,A,的全部特征值,2）任一n元实二次型 都可以通过正交的线性替换,31,例,2,、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是,（,1,）,（,2,）,则（,1,）式可以写成,令,例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是（1）（2）,32,对（,2,）中的 有正交矩阵,C,（且 ）,确定的坐标变换公式,曲面（,1,）的方程化成,这样由（,2,）知道经过由 的坐标轴旋转，,或,对（2）中的 有正交矩阵C（且 ）确定的,33,其中,这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的,平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程,如当,全不为零时，作平移,其中 这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的平移,34,曲面方程（,1,）可以化为,其中,曲面方程（1）可以化为 其中,35,