单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,精选课件ppt,*,一、线性微分方程的解法,(,一,),线性微分方程的解的结构,问题,:,1.,二阶齐次方程解的结构,:,1,精选课件ppt,例如,线性无关,线性相关,1).,函数的线性相关性,2,精选课件ppt,例如,2),二阶齐次线性方程的通解,3,精选课件ppt,2.,二阶非齐次线性方程的解的结构,1),通解的构成,2),特解的叠加原理,4,精选课件ppt,(,二,),降阶法与常数变易法,1.,齐次线性方程求线性无关特解,-,降阶法,代入,(1),式,得,则有,5,精选课件ppt,解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,6,精选课件ppt,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),2.,非齐次线性方程通解求法,-,常数变易法,7,精选课件ppt,(5),(4),(5),联立方程组,8,精选课件ppt,积分可得,非齐次方程通解为,9,精选课件ppt,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,10,精选课件ppt,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,11,精选课件ppt,小结,主要内容,线性方程解的结构；,线性相关与线性无关；,降阶法与常数变易法；,补充内容,可观察出一个特解,12,精选课件ppt,(,三）齐次线性方程,1.,定义,2.,解法,1,、由对结果的猜想得：,2,、对判别式的讨论,齐次线性方程,13,精选课件ppt,有两个不相等的实根,由定理,2,得通解：,特征根为,有两个相等的实根,特征根为,问：如何求通解？,通解显然不是,14,精选课件ppt,于是须寻找新函数,由此得通解：,注,:,也可由降阶法,(,刘维尔公式,),得,y,3,15,精选课件ppt,有一对共轭复根,特征根为,如何得实数解？,由欧拉公式,16,精选课件ppt,y,1,y,2,是齐次线性方程的解，则,:,由此得,:,也是原方程的解,.,由定理,1:,也是原方程的解,.,17,精选课件ppt,综上得特征方程法：,二阶常系数齐次线性方程解法小结,18,精选课件ppt,例,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,1,19,精选课件ppt,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例,2,20,精选课件ppt,练 习 题,21,精选课件ppt,练习题答案,22,精选课件ppt,（四）非齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,难点：,如何求特解？,方法：,待定系数法（,同型化！,）,.,23,精选课件ppt,猜测：,代入原方程,1,、,指数式乘多项式型,:,24,精选课件ppt,综上讨论知可设特解：,注意,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,25,精选课件ppt,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例,1,26,精选课件ppt,2,、指数式乘三角式型：,上述结论可推广到,n,阶常系数非齐次线性微分方程,.,27,精选课件ppt,注,:,实际计算中,常有,:,或,28,精选课件ppt,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例,2,29,精选课件ppt,解,对应齐方通解,作辅助方程,代入辅助方程,例,3,30,精选课件ppt,所求非齐方程特解为,原方程通解为,注意,31,精选课件ppt,解,对应齐方通解,用常数变易法求非齐方程通解,原方程通解为,例,4,32,精选课件ppt,三、小结,(,待定系数法,),只含上式一项解法：,作辅助方程,求特解,取特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,.,33,精选课件ppt,思考题,写出微分方程,的待定特解的形式,.,34,精选课件ppt,思考题解答,设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,35,精选课件ppt,练 习 题,36,精选课件ppt,37,精选课件ppt,练习题答案,38,精选课件ppt,39,精选课件ppt,