单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,22.3,三角形中位线,三角形中位线,什么叫三角形的中位线？,连结三角形两边中点的线段叫,三角形的中位线,如图：D、E分别是AB、AC边的中点，DE就是ABC的中位线。,思考：,一个三角形共有几条中位线？,F,答：三条,F,E,连结三角形两边中点的线段叫,三角形的中位线,。,思考：,2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？,A,B,C,D,DE是ABC的中位线,定义：,三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？,思考：,中位线是,两个中点,的连线，而中线是,一个顶点,和对边,中点,的连线。,如图在等边ABC中，AD=BD，AE=EC，,B,C,D,E,A,ADE是什么三角形？,DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？,等边三角形,请思考！,DEBC,一般的三角形的中位线与第三边有什么样的位置关系和数量关系呢？,DE是ABC的什么线？,中位线,观察猜想,在,ABC,中，中位线DE和边BC什么关系?,DE和边BC关系,数量关系：,位置关系：,DEBC,A,B,C,D,E,平行,DE是BC的一半,猜想：,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。,如何证明？,A,B,C,D,E,F,DE=EF 1=2 AE=EC,ADE CFE,证明：如 图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.,AD=FC 、A=ECF,ABFC,又AD=DB,BD CF且 BD=CF,四边形BCFD是平行四边形,还有另外的证法吗？,DFBC，DFBC,又,即,DEBC,已知：在ABC 中，DE是ABC 的中位线,求证：DE BC，且DE=BC 。,1,2,C,E,D,F,B,A,证法二：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F,CFAB，,A=ECF,又AE=EC，AED=CEF,ADECFE,AD=FC,又DB=AD，,DB FC,四边形BCFD是平行四边形,DE/BC 且DE=EF=1/2BC,返回,A,B,C,E,D,F,证明：如图，延长DE至F,使EF=DE，,连接CD、AF、CF,AE=EC,DE=EF,四边形ADCF是平行四边形AD FC,又D为AB中点，,DB FC,四边形BCFD是平行四边形,DE/BC 且DE=EF=1/2BC,返回,A,C,E,D,F,G,B,证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G,AGBCEAG=ECF,又 AE=EC,AEG=CEF,AEGCEFAG=FC，GE=EF,又ABGF，AGBF四边形ABFG是平行四边形,BF=AG=FC，AB=GF,又D为AB中点，E为GF中点，,DB EF,四边形DBFE是平行四边形,DEBF，即DEBC，DE=BF=FC,即DE=1/2BC,返回,三角形的中位线的性质,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半,用符号语言表示,D,A,B,C,E,AE=EB AD=DC,DEBC，,DE=BC.,2,1,初显身手,B,D,A,E,C,F,(1),DEF的周长与,ABC的周长有什么关系?,(2),DEF的面积与,ABC的面积有什么关系?,例1：口答,（1）三角形的周长为18cm，这个三角形的三条中位线围成三角形的周长是多少？为什么？,A,B,C,测出MN的长，就可知A、B两点的距离,M,N,应用,在AB外选一点C，使C能直接到达A和B，,连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N.,若MN=36 m，则AB=,2MN=72 m,如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？,例1 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.,A,B,C,D,E,F,G,H,已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。,求证：四边形EFGH是平行四边形,。,证明：连结AC,AE=EB、CF=FB,(三角形中位线定理),EFAC，EF=AC,四边形EFGH是平行四边形,同理：HGAC，HG=AC,EF HG，且EF=HG,（2）如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE=,cm。,A,B,D,C,E,O,5,初显身手,（3）如图：如果AE=AB，AD=AC，,DE=2cm，那么BC=,cm。,A,B,D,C,E,H,G,8,（4）,在ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、BD、AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是,。,A,B,D,C,E,F,G,H,11,练一练,1.ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，,BC=10cm，则DE=_.,A,E,D,C,B,(1),B,D,A,E,C,(2),2.ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，A=50,B=70,则AED=_.,A,B,问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么?,例2：已知：如图AD是ABC的中线，,EF是中位线，,求证：AD与EF互相平分,A,B,C,D,E,F,例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求 证：HEF FGH,。,例4：,求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形,。,已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD中AB、,BC、CD、DA的中点。,求证：EFGH是平行四边形。,任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形,。,例5：已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长,线上一点,且CE=DC,连结AE,分别交BC、BD于,点F、G，连接AC交BD于O，连结OF.,求证:AB=2 OF,A,D,B,C,E,G,F,O,提示:,证明ABF ECF,得BF=CF,再证OF是,ABC的中位线.,已知：如图，ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，EF。,A,B,C,D,E,F,N,M,求证：DE=EF,挑战自我:,小结,1.三角形的中位线定义.,2.三角形的中位线定理.,3.,三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，要转化为中位线.,4.,线段的倍分,要转化为相等问题来解决.,5.,三角形的中位线定理,的发现过程所用到的数学方法（包括画图、实验、猜想、分析、归纳等.),作 业,8、12,习题19.1,四边形,1、2、3,P90练习题,16、,习题19.2,思考：,（1）,顺次连结,平行四边形,各边中点所得的四边形是_？,（2）顺次连结,矩形,各边中点所得的四边形是_？,（3）顺次连结,菱形,各边中点所得的四边形是_？,平行四边形,菱形,矩形,变式练习,（4）顺次连结,正方形,各边中点所得的四边形是_？,（5）顺次连结,梯形,各边中点所得的四边形是_？,（6）顺次连结,等腰梯形,各边中点所得的四边形是_？,正方形,平行四边形,菱形,（7）顺次连结,对角线相等,的四边形各边中点所得的四边形是什么？,（9）顺次连结,对角线相等且垂直,的四边形各边中点所得的四边形是什么？,（8）,顺次连结,对角线垂直,的四边形各边中点所得的四边形是什么？,菱形,矩形,正方形,总结,不相等且不互相垂直的四边形各边中点,组成_,对角线,平行四边形,互相垂直的四边形各边中点组成_,矩形,相等的四边形各边中点组成_,菱形,相等且互相垂直的四边形各边中点,组成_,正方形,怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?,请动手试一试!,做一做,小结：,连结三角形两边中点的线段叫做三角形的,中位线,三角形中位线性质,：,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,三角形的中位线与中线的区别。,中位线,：,中点与中点的连线。,中 线,：,顶点与中点的连线。,如图，在四边形,ABCD,中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点。四边形,EFGH,是平行四边形吗？为什么？,B,C,D,A,E,F,G,H,思考,:,