单击此处编辑母版标题样式,*,1,/28,1,第四节 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,四、小结 思考题,第四节 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,特点：,一、空间曲线的一般方程,【注】,空间曲线用一般方程表示,表达式形式不唯一.,见后,附注,空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组,例如,方程组,表示圆柱面与平面的交线,C,.,C,空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，满足方程的,【,例,1,】,方程组 表示怎样的曲线？,【,解,】,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,【例1】方程组 表示怎样的,【,例,2,】,方程组 表示怎样的曲线？,【,解,】,上半球面,圆柱面,交线如图.,【例2】方程组 表示怎样,空间曲线解析ppt课件,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程,动点,M,从,A,点出发，经过,t,时间，运动到,M,点,螺旋线的参数方程,取时间,t,为参数，,【解】,动点M 从A 点出发，经过 t 时间，运动到 M 点,P,圆柱面,a,x,=,y,=,z=,a,cos,b,M,(,x,y,z,),a,sin,M,N,Q,螺旋线的重要,性质,：,上升的高度与转过的,角度成正比,螺旋线,又称,圆柱螺线,y,z,0,x,螺线从点,P,Q,当,从 0,2，,叫螺距,P 圆柱面a x=acosb M(x,y,z),【例4】,将下列曲线化为参数方程表示:,【解】,(1),根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为,故所求为,得所求为,【例4】将下列曲线化为参数方程表示:【解】(1)根据第,三、空间,曲线,在坐标面上的投影,1.,设空间曲线,C,的一般方程为,消去,z,得,则,C,在,xoy,面上的投影曲线,C,为,消去,x,得,C,在,yoz,面上的投影曲线方程,消去,y,得,C,在,zox,面上的投影曲线方程,投影柱面,三、空间曲线在坐标面上的投影1.设空间曲线 C 的一般方,如图,:【总结】,投影曲线的研究过程.,空间曲线,投影曲线,投影柱面,如图:【总结】投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面,例如,在,xoy,面上的投影曲线方程为,例如在xoy 面上的投影曲线方程为,【例,5,】,求曲线 在坐标面上的投影.,【,解,】,(1)消,去变量,z,后得,在 面上的投影为,所以在 面上的投影为线段.,（2）,因为曲线在平面 上，,（3）,同理在 面上的投影也为线段.,【例5】求曲线 在坐标面上的投影.,1,【解】,y,x,z,o,得,交线,L,：,【例6】,由,1【解】yxzo得交线L：【例6】由,z,=0,.,1,y,x,z,o,L,.,.,.,投影柱面,【解】,得,交线,L,：,由,【例6】,z=0.1yxzoL.投影柱面【解】得交线L：由【例6,L:,x,z,y,0,附注,空间曲线作为投影柱面的交线,(消去,z,),y,2,=,4,x,y,2,=,4,x,L:xz y0附注空间曲线作为投影柱面的交线(消去,L:,x,z,y,0,(),消去,z,(消去,x,),.,y,2,+(,z,2),2,=4,y,2,+(,z,2),2,=4,y,2,=,4,x,y,2,=,4,x,附注,空间曲线作为投影柱面的交线,(1),L:xz y0()消去z(消去x,L,：,L:,x,z,y,0,L,(),转动坐标系，有下页图,.,消去,z,(消去,x,),.,y,2,+(,z,2),2,=4,y,2,=,4,x,y,2,+(,z,2),2,=4,y,2,=,4,x,说明了,L,的,一般方程,表达形式不唯一,附注,空间曲线作为投影柱面的交线,(1),L：L:xz y0L()转动坐标系，有,L,：,L,x,z,y,0,y,2,+(,z,2),2,=4,y,2,=,4,x,(消去,z,),y,2,+(,z,2),2,=4 (消去,x,),y,2,=,4,x,附注,空间曲线作为投影柱面的交线,L：Lxz y0y2+(z 2)2=4y2=,2,.空间,立体,或,曲面,在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,2.空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面,【,例,7,】,【解】,【,注意,】,空间立体或曲面在坐标面上的投影是该坐标面上的一块区域,或一,段,曲线.故一般用,不等式,表示.,所围的立体在,xoy,面上的投影区域为:,在,xoy,面上的,投影曲线,二者交线,所围圆域,:,二者交线在,xoy,面上的投影曲线所围之域.,【例7】【解】【注意】空间立体或曲面在坐标面上的投影是该坐标,四、小结,空间曲线,三元方程组,或参数方程,空间曲线在坐标面上的投影,(如,圆柱螺线),空间立体或曲面在坐标面上的投影,一般用不等式（组）表示投,影区域,四、小结 空间曲线三元方程组或参数方程 空间曲线在坐标面,思考与练习,P37,题,1，2，7（,展示空间图形,）,题,1,(2),(1),答案:,思考与练习 P37 题 1，2，7（展示空间图形）题1,(3),(3),P37,题,2(1),P37 题2(1),【思考】,交线情况如何?,交线情况如何?,P37,题,2(2),【思考】交线情况如何?交线情况如何?P37 题2(2,P37,题,7,P37 题 7,备用题,求曲线,绕,z,轴旋转的曲面与平面,的交线在,xoy,平面的投影曲线方程.,【解】,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向,xoy,面的投影柱面方程为,此曲线在,xoy,面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平,