单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,返回,上页,下页,返回,第四节 函数展开成幂级数,一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,三、小结 思考题,第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数,一、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以,f(x),为和函数,问题:,1.如果能展开,是什么?,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数,证明,证明,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得,泰勒系数,泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数,问题,泰勒级数在收敛区间是否收敛于,f,(,x,)?,不一定.,n,n,n,x,n,f,=,0,),(,!,),0,(,称为,),(,x,f,在点,0,0,=,x,的,麦克劳林级数,.,定义,问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.nnnxn,可见,在,x=,0点任意可导,可见在x=0点任意可导,证明,必要性,证明必要性,充分性,充分性,证明,证明,二、函数展开成幂级数,1.直接法(泰勒级数法),步骤:,二、函数展开成幂级数1.直接法(泰勒级数法)步骤:,例1,解,由于,M,的任意性,即得,例1解由于M的任意性,即得,例2,解,例2解,例3,解,例3解,第四节函数展开成幂级数课件,两边积分,得,两边积分得,即,牛顿二项式展开式,注意:,即牛顿二项式展开式注意:,双阶乘,双阶乘,2.间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式.,例如,2.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,第四节函数展开成幂级数课件,例4,解,例4解,第四节函数展开成幂级数课件,三、小结,1.如何求函数的泰勒级数;,2.泰勒级数收敛于函数的条件;,3.函数展开成泰勒级数的方法.,三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条,思考题,什么叫幂级数的间接展开法？,思考题什么叫幂级数的间接展开法？,思考题解答,从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算或逐项求导、逐项积分等办法,求出给定函数展开式的方法称之.,思考题解答 从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运,练 习 题,练 习 题,练习题答案,练习题答案,第四节函数展开成幂级数课件,