单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上一页,主页,下一页,2 二元函数的极限,2 二元函数的极限,1,二元函数的极限,累次极限,二元函数的极限,2,定义 1 设,f,为定义在,D,R,2,上的二元函数，,P,0,为,D,的一个聚点，,A,是一个实数.若,使得当 时，都有,则称,f,在,D,上当,P,P,0,时，以,A,为极限，,记为,简记为,也记为,一 二元函数的,极限,定义 1 设 f 为定义在 D R2 上的二元函数，,3,设,f,(,x,y,)为,D,R,2,上的二元函数，,P,0,(,x,0,y,0,),为,D,的一个聚点，,A,是一个实数.若,使得当,时，都有,则称,f,在,D,上当(,x,y,),(,x,0,y,0,),时，以,A,为极限，,记为,也记为,极限的方邻域定义：,设 f(x,y)为 D R2 上的二元函数，P,4,设,f,(,x,y,)为,D,R,2,上的二元函数，,P,0,(,x,0,y,0,),为,D,的一个聚点，,A,是一个实数.若,使得当,时，都有,则称,f,在,D,上当(,x,y,),(,x,0,y,0,),时，以,A,为极限，,记为,也记为,极限的圆邻域定义：,设 f(x,y)为 D R2 上的二元函数，P,5,注：从形式上看，二元函数极限的定义与一元函数极限的定义类似.但二元函数极限远比一元函数极限要复杂得多，这主要体现在，平面上,P,P,0,的方式，要比直线上,x,x,0,的方式要复杂得多.但不管以什么方式,P,P,0,f,都要,以,A,为极限.,注：从形式上看，二元函数极限的定义与一元函数极限的定义类似.,6,例 1 用,定义,证明,证,因为 ，不妨限制在点(2,1)的,于是有,例 1 用定义证明证因为,7,所以,就有,所以就有,8,例 2 设,证明,证,作极坐标变换,例 2 设证明证作极坐标变换,9,二元函数极限ppt课件,10,另解,：,因为,另解：因为,11,o,x,y,1,z,=,x,2,+y,2,+,1,y,=,kx,在平面上的(0,0)点处,.,例如：,z,(和的极限等于极限的和),二元函数重极限的演示,都有,z,1,有,z,1,有,故：在,xoy,平面上,点,.,.,oxy1z=x2+y2+1y=kx在平面上的(,12,定理 16.5 的充要条件是：,对,D,的任一子集,E,，只要,P,0,是,E,的聚点，,就有,定理 16.5,13,二元函数极限ppt课件,14,二元函数极限ppt课件,15,二元函数极限ppt课件,16,例 4 二元函数,当,(,x,y,)沿直线趋于原点时，相应的,f,(,x,y,),都趋于零.,当,(,x,y,)沿抛物线,y,=,k x,2,(0,k,1),趋于原点时，相应的,f,(,x,y,),却趋于 1.,例 4 二元函数当(x,y)沿直线趋于原点时，相应,17,二元函数极限ppt课件,18,二元函数极限ppt课件,19,二 累次极限,二 累次极限,20,二元函数极限ppt课件,21,二元函数极限ppt课件,22,二元函数极限ppt课件,23,两个累次极限都存在，下面考察其重极限：,两个累次极限都存在，下面考察其重极限：,24,考察沿不同路径趋于原点：,考察沿不同路径趋于原点：,25,所以,f,的重极限存在，且,f,的两个累次极限都不存在。,所以 f 的重极限存在，且 f 的两个累次极限都不存在。,26,二元函数极限ppt课件,27,二元函数极限ppt课件,28,二元函数极限ppt课件,29,作业：P.99 1，,2.,作业：P.99 1，,30,设,f,为定义在区间,I,上的函数，,x,0,为,I,上一点，,A,是一个实数.若,使得当 即 时，都有,则称,f,在当,x,x,0,时，以,A,为极限，,记为,一元函数的极限,设 f 为定义在区间 I 上的函数，x0 为 I 上一点，,31,二元函数极限ppt课件,32,