单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节 对坐标的曲面积分,-,第二类曲面积分,二、,向量值函数的曲面积分,三、概念及性质；,五、两类曲面积分之间的关系,四、计算方法；,一、基本概念；,一、基本概念,观察以下曲面的侧,(,假设曲面是光滑的,),曲面分,上,侧和,下,侧,曲面分,内,侧和,外,侧,曲面的分类,:,1.,双侧曲面,;,2.,单侧曲面,.,典型,双侧曲面,莫比乌斯带,典型,单侧曲面:,曲面,法,向量的指向,决定曲面的,侧,.,规定,了正侧的曲面称为,有向曲面,.,P235,正向规定,曲面的投影问题,:,二、,向量值函数的曲面积分,实例,:,流向曲面一侧的流量,.,1.,分割,则该点流速为,.,法向量为,.,2.,求和,3.,取极限,下接定义,16.4.1P236,三、概念及性质,（第二类曲面积分）,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件,:,组合形式,:,物理意义,:P236,性质,:,四、计算法,注意,:,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,.,解,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,例题,16.4.5,解：因为 的法向量 与 轴的正向夹角,在,yz,面上的投影域,例题,16.4.6,解,：,注意,P242,中间解释和,P246,例题,16.4.9,利用对称性简化计算,思考题,思考题解答,此时 的左侧为,负,侧，,而 的左侧为,正,侧,.,