单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,角平分线,第一章 三角形的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,1,课时 角平分线,1.4 角平分线第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练,1.,会叙述角平分线的性质及判定,;,（重点）,2.,能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题,;,（难点）,3.,经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力,学习目标,1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）学习目标,情境引入,如图，要在,S,区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处,500,米，这个集贸市场应建在何处,？,（比例尺为,120000,）,D,C,S,解：作夹角的角平分线,OC,，,截取,OD,=2.5cm,D,即为所求,.,O,导入新课,情境引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和,1.,操作测量,：取点,P,的三个不同的位置，分别过点,P,作,PDOA,，,PE OB,点,D,、,E,为垂足，测量,PD,、,PE,的长,.,将,三次数据填入下表：,2.,观察测量结果，猜想线段,PD,与,PE,的大小关系，写出结：,_,C,O,B,A,PD=PE,p,D,E,实验：,OC,是,AOB,的平分线，点,P,是射线,OC,上的,任意一点,猜想：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,角平分线的性质,一,讲授新课,1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作2.,验证猜想,已知：如图，,AOC,=,BOC,点,P,在,OC,上，,PD,OA,PE,OB,垂足分别为,D,E,.,求证：,PD=PE,.,P,A,O,B,C,D,E,证明：,PD,OA,PE,OB,，,PDO,=,PEO,=90.,在,PDO,和,PEO,中，,PDO,=,PEO,，,AOC=BOC,，,OP=OP,，,PDO,PEO,(,AAS,).,PD=PE,.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,验证猜想已知：如图，AOC=BOC,点P在OC上，P,性质定理：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,应用所具备的条件：,（,1,）,角的平分线；,（,2,）,点在该平分线上；,（,3,）,垂直距离,.,定理的作用：,证明线段相等,.,应用格式：,OP,是,AOB,的平分线，,PD=PE,（,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,）,.,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个,.,知识要点,PD,OA,PE,OB,，,B,A,D,O,P,E,C,性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.应用所具,判一判：,（,1,）,如下左图，,AD,平分,BAC,（,已知），,=,，,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,(2),如上右图,，,DC,AC,，,DB,AB,（已知）,.,=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,B,A,D,C,判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），,例,1,：,已知：如图，在,ABC,中，,AD,是它的角平分线，且,BD=CD,DE,AB,DF,AC,.,垂足分别为,E,F,.,求证：,EB=FC,.,A,B,C,D,E,F,证明：,AD,是,BAC,的角平分线，,DE,AB,DF,AC,，,DE=DF,DEB=DFC,=90.,在,Rt,BDE,和,Rt,CDF,中，,DE=DF,，,BD=C,D,，,Rt,BDE,Rt,CDF,(,HL,).,EB=FC,.,例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=,例,2,:,如图，,AM,是,BAC,的平分线，点,P,在,AM,上，,PDAB，PEAC，,垂足分别是,D,、,E，PD=4cm，,则,PE=_cm.,B,A,C,P,M,D,E,4,温馨提示：,存在两条垂线段直接应用,例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB,A,B,C,P,变式：,如,图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.,（1）则点P到AB的距离为_.,D,4,温馨提示：,存在一条垂线段构造应用,ABCP变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C9,A,B,C,P,变式：,如图，在,Rt,ABC中，AC=BC,C90,0,，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，,AB=14.,（,2,）求,APB,的面积,.,D,（,3,）求PDB的周长,.,AB,P,D,=28.,由垂直平分线的性质，可知，,PD=PC=4,，,=,ABCP变式：如图，在Rt ABC中，AC=BC,C9,1.,应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,2,.,联系角平分线性质：,面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分,角平分线的判定,二,P,A,O,B,C,D,E,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,思考：,交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,思考：这个结论正确吗？,逆,命,题,角平分线的判定二PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点,已知：如图，,PD,OA,，,PE,OB,，,垂足分别是,D,、,E,，,PD=PE,.,求证：点,P,在,AOB,的角平分线上,.,证明：,作射线,OP,，,点,P,在,AOB,角的平分线上,.,在,Rt,PDO,和,Rt,PEO,中，,（全等三角形的对应角相等）,.,OP=OP,（公共边），,PD=PE,（已知），,B,A,D,O,P,E,PD,OA,PE,OB.,PDO,=,PEO,=90,，,Rt,PDO,Rt,PEO,（,HL,）,.,AOP,=,BOP,证明猜想,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=,判定定理：,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,.,P,A,O,B,C,D,E,应用所具备的条件：,（,1,）,位置关系：点在角的内部,；,（,2,）,数量关系：该点到角两边的距离相等,.,定理的作用：,判断点是否在角平分线上,.,应用格式：,PD,OA,PE,OB,，,PD=PE.,点,P,在,AOB,的平分线上,.,知识总结,判定定理：PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点,例,3,:,如图，已知,CBD,和,BCE,的平分线相交于点,F,，,求证：点,F,在,DAE,的平分线上,证明：,过点,F,作,FG,AE,于,G,，,FH,AD,于,H,，,FM,BC,于,M,.,点,F,在,BCE,的平分线上，,FG,AE,，,FM,BC.,FG,FM,.,又点,F,在,CBD,的平分线上，,FH,AD,，,FM,BC,，,FM,FH,，,FG,FH,.,点,F,在,DAE,的平分线上,.,G,H,M,A,B,C,F,E,D,例3:如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F，证明：,例,4,如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点,M,，,N,表示大学，,OA,，,OB,表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库,P,应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计,(,尺规作图，不写作法，保留作图痕迹,),O,N,M,A,B,例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表,O,N,M,A,B,P,方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上,.,解：如图所示：,ONMABP方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到,归纳总结,P,C,P,C,OP,平分,AOB,PDOA,于,D,PEOB,于,E,PD=PE,OP,平分,AOB,PD=PE,PDOA,于,D,PEOB,于,E,角的平分线的,判定,角的平分线的,性质,归纳总结PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于E,当堂练习,2.,ABC,中,C=90,AD,平分,CAB,且,BC,=8,BD,=5,则,点,D,到,AB,的距离是,.,A,B,C,D,3,E,1.,如图，,DE,AB,，,DF,BG,，,垂足分别是,E,，,F,，,DE=DF,，,EDB,=60,，,则,EBF,=,度，,BE,=,.,60,BF,E,B,D,F,A,C,G,当堂练习2.ABC中,C=90,AD平分CAB,且,3.,已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知,AOB,的两边上，分别取,OM=ON,再分别过点,M,N,作,OA,OB,的垂线，交点为,P,，,画射线,OP,则,OP,平分,AOB,.,为什么？,A,O,B,M,N,P,解：在,RT,MOP,和,RT,NOP,中，,OM=ON,，,OP=OP,，,RT,MOP,RT,NOP,（,HL,）,.,MOP,=,NOP,，即,OP,平分,AOB,.,3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知AOB的两边,课堂小结,角平分线,性质定理,一个点：,角平分线上的点；,二距离：,点到角两边的距离；,两相等：,两条垂线段相等,辅助线,添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,判定定理,在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,课堂小结角平分线性质定理一个点：角平分线上的点；辅助线过角平,