角的平,分线的判定,12.3,角,的,平,分线的性,质,人教版数学八年级上册,角的平分线的判定12.3 角的平分线的性质人教版数学八年级上,O,D,P,P,到,OA,的距离,PD,P,到,OB,的距离,PE.,P,是角平分线上的点,几何语言描述：,OC,平分,AOB,，且,PD,OA,，,PE,OB.,PD=PE.,A,C,B,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,叙述角平分线的性质定,理,.,不必再证全等,E,角平分线的判定,探究新知,ODPP到OA的距离PDP到OB的距离PE.P是角平分线上的,P,A,O,B,C,D,E,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,交换,角的平分线的性质中的已知和结,论，你,能得到什么结,论，这,个新结论正确吗？,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,.,OC,平分,AOB,，,且,PD,OA,，,PE,OB,PD=PE,几何语言：,猜想,:,这个,结论正确吗？,PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,已知：如,图，,PD,OA,，,PE,OB,，,垂,足分别是,D,、,E,，,PD=PE.,求,证：点,P,在,AOB,的平分,线上,.,证明：,作射线,OP,，,点,P,在,AOB,的,平分线,上,.,在,Rt,PDO,和,Rt,PEO,中，,（全等三角形的对应角相等）,.,OP=OP,（公共边,），,PD=PE,（,已知,），,B,A,D,O,P,E,PD,OA,，,PE,OB.,PDO,=,PEO,=90,，,Rt,PDO,Rt,PEO,（,HL,）,.,AOP,=,BOP,猜想证明,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=,判定定理：,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,.,P,A,O,B,C,D,E,应用所具备的条件：,（,1,）位置关系：,点在角的内部；,（,2,）数量关系：,该点到角两边的距离相等,.,定理的作用：,判断点是否在角平分线上,.,应用格式,：,PD,OA,，,PE,OB,，,PD=PE,.,点,P,在,AOB,的平分线上,.,判定定理：PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点,例,1,如图，要,在,S,区建一个贸易市,场，使,它到铁路和公路距离相,等，,离公路与铁路交叉处,500,米，这,个集贸市场应建在何处（比例尺为,120000,）,？,D,C,S,解：,作夹角的角平分线,OC,，,截取,OD,=2.5cm,，,D,即为所求,.,O,方法点拨,：,根据角平分线的判定定,理，要,求作的点到两边的距离相,等，一,般需作这两边直线形成的角的平分,线，再,在这条角平分线上根据要求取点,.,考点探究,1,角平分线,的判定的应,用,例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等,1,如,图，点,P,在,AOB,内,部，,PC,OA,于点,C,，,PD,OB,于点,D,，,PC,3,cm,，当,PD,_cm,时点,P,在,AOB,的平分线上,3,3,2,如,图，,AB,CD,，点,P,到,AB,，,BC,，,CD,的距离相,等，则,点,P,是,的平分线与,的平分线的交点,ABC,BCD,巩固练习,1如图，点P在AOB内部，PCOA于点C，PDOB于,分别画出下列三角形三个内角的平分线,，你,发现了什么？,三角形的内角平分线,发现：,三角形的三条角平分线相交于一,点,.,探究新知,分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三,分别,过交点作三角形三边的垂,线，用,刻度尺量一,量，每,组垂线,段，你,发现了什么？,发现：,过交点作三角形三边的垂线段相,等,.,你能证明这个结论吗？,分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂,已知：如,图，,ABC,的角平分线,BM,，,CN,相交于点,P,，,求证：点,P,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,证明：,过点,P,作,PD,，,PE,，,PF,分别垂直于,AB,，,BC,，,CA,，,垂,足分别为,D,，,E,，,F,.,BM,是,ABC,的角平分,线，点,P,在,BM,上，,PD=PE,.,同理,PE=PF,.,PD=PE=PF,.,即点,P,到三边,AB,，,BC,，,CA,的距离相等,.,D,E,F,A,B,C,P,N,M,证明,结论,已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，证明：过,点,P,在,A,的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？,点,P,在,A,的平分线上,.,结论：,三角形的三条角平分线,交于一,点，,并,且,这点到三边的距离相等,.,D,E,F,A,B,C,P,N,M,点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关,M,E,N,A,B,C,P,O,D,3.,如图，在,直角,ABC,中，,C,90,，,AP,平分,BAC,，,BD,平分,ABC,；,AP,，,BD,交于点,O,，过,点,O,作,OM,AC,，若,OM,4,.,(,1)求点,O,到,ABC,三边的距离和.,12,B,C,A,巩固练习,MENABCPOD 3.如图，在直角ABC中，C,解：,连接,OC,.,M,E,N,A,B,C,P,O,D,(,2)若,ABC,的,周长,为,32，求,ABC,的,面积,.,3.,如图，在,直角,ABC,中，,C,90,，,AP,平分,BAC,，,BD,平分,ABC,；,AP,，,BD,交于点,O,，过,点,O,作,OM,AC,，若,OM,4,.,解：连接OC.MENABCPOD(2)若ABC的周长为32,1.,应用角平分线性质：,存在,角平分线,涉及,距离问题,2,.,联系角平分线性质：,距离,面积,周长,条件,归纳新知,1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分,例,2,如图，,在,ABC,中,，,点,O,是,ABC,内一点,，,且点,O,到,ABC,三边的距离相等若,A,40,，,则,BOC,的度数为(),A110 B120 C130 D140,A,解析：,由已知,，,O,到三角形三边的距离相等,，,即三条角,平分线的交点,，,AO,，,BO,，,CO,都是角平分线,，,所以有,CBO,ABO,ABC,，,BCO,ACO,ACB,，,ABC,ACB,18040140,，,OBC,OCB,70,，,BOC,18070110.,考点探究,2,利用,三角形的内角平分线的性质求值,探究新知,例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到A,方法点拨,由已,知，,O,到三角形三边的距离相,等，得,O,是三角形三条内角平分线的交,点，再,利用三角形内角和定理即可求出,BOC,的度数,方法点拨 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是,角的平分线的,性质,图形,已知,条件,结论,P,C,P,C,OP,平分,AOB,PD,OA,于,D,PE,OB,于,E,PD=PE,OP,平分,AOB,PD,=,PE,PD,OA,于,D,PE,OB,于,E,角的平分线的,判定,归纳新知,角的平分线的性质结论PCPCOP平分AOBPDOA于DP,4.,到三角形三边距离相等的点是,(,),A,三边垂直平分线的交点,B,三条高所在直线的交点,C,三条角平分线的交点,D,三条中线的交点,5.,如,图,，,河,南岸有一个工厂在公路西,侧,，,工,厂到公路的距离与到河岸的距离相,等,，,并,且与,B,的距离为,300,m,，,在,图上标出工厂的位,置,，,并,说明理由,解：,作小河与公路夹角的角平分线,BM,，在,BM,上截取,BP,1.5,cm,，则,点,P,即为所求的工厂的位置,C,巩固练习,4.到三角形三边距离相等的点是()解：作小河与公路夹角的,1.,如,图，某,个居民小区,C,附近有三条两两相交的道路,MN,、,OA,、,OB,，,拟,在,MN,上建造一个大型超,市，使,得它到,OA,、,OB,的距离相,等，请,确定该超市的位置,P,.,小区,C,P,A,O,B,M,N,课堂检测,基础题,1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA,2.,如图所,示，已,知,ABC,中，,PE,AB,交,BC,于点,E,，,PF,AC,交,BC,于点,F,，,点,P,是,AD,上一,点，且,点,D,到,PE,的距离与到,PF,的距离相,等，判,断,AD,是否平分,BAC,，并,说明理由,解：,AD,平分,BAC,理由如下：,D,到,PE,的距离与到,PF,的距离相,等，,点,D,在,EPF,的平分线上,1,2,又,PE,AB,，,1,3,同,理，,2,4,3,4,，,AD,平分,BAC,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,3,4,1,2,P,2.如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PF,过点,F,作,FG,AE,于,G,，,FH,AD,于,H,，,FM,BC,于,M,.,E,证明：,点,F,在,BCE,的平分线,上，,FG,AE,，,FM,BC,.,FG,FM,.,又点,F,在,CBD,的平分线,上，,FH,AD,，,FM,BC,，,FM,FH,，,FG,FH,.,点,F,在,DAE,的平分线上,.,G,H,M,A,B,C,F,D,如图，已,知,CBD,和,BCE,的平分线相交于点,F,，,求证：点,F,在,DAE,的平分线上,提升,题,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.E证,如图，,直线,l,1,、,l,2,、,l,3,表示三条互相交叉的公,路，,现要建一个货物中转,站，,要求它到三条公路的距离相,等，,可选择的地址有几处,?,画出它的位置,.,拓展题,如图，直线l1、l2、l3表示三条互相交,P,1,P,2,P,3,P,4,l,1,l,2,l,3,P1P2P3P4l1l2l3,1,、盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。,20.7.127.12.202009:0109:01:45Jul-2009:01,2,、千里之行，始于足下。,2020,年,7,月,12,日星期日,3,、少年易学老难成，一寸光阴不可轻。,09:017.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020,4,、敏而好学，不耻下问。,7.12.20207.12.202009:0109:0109:01:4509:01:45,5,、海内存知已，天涯若比邻。,Sunday,July 12,2020July 20Sunday,July 12,20207/12/2020,6,莫愁前路无知已，天下谁人不识君。,9,时,1,分,9,时,1,分,12-Jul-207.12.2020,7,、人生贵相知，何用金与钱。,20.7.1220.7.1220.7.12,。,2020,年,7,月,12,日星期日二二年七月十二日,8,、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。,09:0109:01:457.12.2020Sunday,July 12,2020,亲爱的,读者,：,春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。,1,、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。,20.7.127.12.202009:0109:01:45Jul-2009:01,2,、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。二二年七月十二日,2020,年,7,月,12,日星期日,3,、成功都永远不会言弃，放弃者永远不会成功。,09:017.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020,4,、不要为它的结束而哭，应当为它的开始而笑。,7.12.20207.12.202009:0109:0109:01:4509:01:45,5,、生命的成长，需要吃饭，还需要吃苦，吃亏。,Sunday,July 12,2020July 20Sunday,July 12,20207/12/2020,6,、生命太过短暂，今天放弃了明天不