单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,多自由度体系近似计算方法,3-1,邓柯莱,(Dunkerly),法,邓柯莱（,Dunkerly,法）,迹法,确定系统基频的估算公式,方法特点：,简单实用,定义,系统的动力矩阵为,n,个自由度系统的特征值问题为,标准特征值问题,多自由度体系近似计算方法3-1 邓柯莱(Dunkerly),1,若将特征值按降序排列,系统的基频为,标准特征值问题的特征行列式为,动力矩阵的对角线元素,由代数方程理论，多项式根与系数关系的,韦达定理,若将特征值按降序排列系统的基频为标准特征值问题的特征行列式为,2,动力矩阵A的迹,若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为,对角线元素,M,对角线元素,1,设弹性系统只保留第,i,个质量,m,i,及相应的弹簧,ii,则系统视为单自由度系统的固有频率为,动力矩阵A的迹若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为对角线元素,3,邓柯莱法计算系统的基频为,精确解的下限,只有当,时，迹法可给出比较准确的基频估算值,算例表明，梁结构通常具有以上的特点,邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限 只有当时，迹法可,4,举例,三自由度梁弯曲的固有频率与主振型,m,2m,m,系统的质量矩阵与柔度矩阵,举例三自由度梁弯曲的固有频率与主振型m2mm系统的质量矩阵与,5,举例,均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频,M,m,EJ,均质简支梁的基频,记简支梁的基频为,不计简支梁质量时系统的固有频率为,均质梁中央附加集中质量,M,时的基频,M,=,m,Dunkerly,法,Rayleigh,法,精确解,举例均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频MmEJ均,6,3-2,矩阵迭代法,工程中的振动问题的响应分析中，系统的,低阶固有频率及主振型占有重要地位,矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主振型的一种简单实用的方法,第一阶固有频率及主振型,向量,向量,给定一个,初始迭代向量 x,1,，由,展开定理,x,1,与,(1),不正交,3-2 矩阵迭代法 工程中的振动问题的响应分,7,所占比重增加,所占比重减少,动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势,第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大,所占比重增加所占比重减少动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振,8,随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越大。当迭代次数充分大时，可近似地得到,迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍,1,迭代过程中应对迭代向量作,归一化处理,迭代过程收敛速度取决于比值,趋于零的速度,迭代次数取决于,系统本身的物理参数,和,试算向量的选取,随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越,9,举例,矩阵迭代法计算系统的基频及主振型,m,m,2,m,k,k,2,k,x,1,x,2,x,3,系统质量矩阵和刚度矩阵,系统动力矩阵,选取初始迭代向量,举例矩阵迭代法计算系统的基频及主振型mm2mkk2kx1x2,10,r,x,r,1,2,8,3,7.25,4,7.189655,5,7.184652,6,7.184245,7,7.184210,系统的第一阶固有频率和主振型,rxr12837.2547.18965557.1846526,11,r,x,r,1,2,7,3,7.228572,4,7.189723,5,7.184718,6,7.184253,7,7.184214,系统的第一阶固有频率和主振型,试算向量取系统静载作用时的静变形,rxr12737.22857247.18972357.184,12,较高阶固有频率及主振型,采用动力矩阵迭代的过程，总是不断扩大第一阶主振型的比重。,能否求出第二阶以上的系统固有频率和主振型？,对于试算初始向量,左乘,动力矩阵迭代,取,不包含有,的成分,较高阶固有频率及主振型 采用动力矩阵迭,13,由于计算过程中的舍入误差，,x,2,内仍有可能存在 的残余成分,b,1,尽管很小，但若直接用动力矩阵A继续迭代仍然会不断扩大 的比重。,必须继续剔出它！,设,由于计算过程中的舍入误差，x2内仍有可能存在 的,14,于是有,只要在迭代计算中用矩阵A,1,取代A，迭代的结果会收敛到 和,且矩阵A,1,的特征值为,2,，特征向量为 而相应于 的特征值变为零,证明,当,i,=1 时,即,于是有只要在迭代计算中用矩阵A1取代A，迭代的结果会收敛到,15,从以上的分析，若已知系统的特征值,相应的特征,向量,。欲求出第,l,+1 阶特征值 和特征向量 ，,可构造迭代矩阵,第,l,+1 阶固有频率 和主振型,由于迭代过程中的误差，因此，矩阵迭代法,只适宜求解系统的低阶,固有频率和主振型,从以上的分析，若已知系统的特征值相应的特征向量。欲求出第 l,16,特征值相等的情形,设,初始试算向量,经,r,次迭代后,取,线性组合,选取不同的初始迭代向量,取,线性组合,将,进行,正交化处理，即可,得到重根的主振型,特征值相等的情形设初始试算向量经 r 次迭代后取线性组合选取,17,半正定系统的情形,K,-1,不存在，动力矩阵A不存在,取一较小的正数,“动力矩阵”,以其为迭代矩阵将得到半正定系统非零特征值所对应的主振型,以上过程称为,带移频的矩阵迭代法,半正定系统的情形K-1不存在，动力矩阵A不存在取一较小的正数,18,举例,矩阵迭代法计算系统的高阶固有频率及主振型,m,m,2,m,k,k,2,k,x,1,x,2,x,3,求系统第二阶固有频率及主振型,举例矩阵迭代法计算系统的高阶固有频率及主振型mm2mkk2k,19,设初始迭代向量,r,x,r,1,2,-0.355046,3,0.513506,15,0.572769,16,0.572770,17,系统的第二阶固有频率及主振型,设初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506,20,3-3,瑞利,(Rayleigh),法,对于运动微分方程,系统的主振动,由机械能守恒,3-3 瑞利(Rayleigh)法对于运动微分方程系统的主,21,如果是系统的第,j,阶主振型,(,j,),如果假设系统的主振动为,X 是系统的假设振型,称为,瑞利商,瑞利商的性质,若X就是系统的第,j,阶主振型,若X为任意,n,维向量,如果是系统的第 j 阶主振型(j)如果假设系统的主振动,22,瑞利商对振型选择不敏感,假设振型 X 比较接近第,r,阶主振型，由展开定理,瑞利商对振型选择不敏感假设振型 X 比较接近第 r 阶,23,假设振型 X,与第,r,阶主振型,(,r,),相差一阶微量,瑞利商,R,(X),与第r阶固有频率的平方,相差二阶微量,瑞利商在系统真实振型处取驻值（相应各阶固有频率的平方 ）,原则上,瑞利商可以计算系统的任意阶固有频率,实际上,系统的高阶主振型很难做出合理假设,工程中，瑞利法用来估算系统的基频，而不宜计算系统的高阶固有频率；所得结果为精确解的上限,假设振型 X与第 r 阶主振型 (r)相差一阶微量瑞利,24,对于运动微分方程,系统的主振动,由机械能守恒,系统的动能,系统的势能可表示为外力 f 所作的功,系统作自由振动时，作用于系统的只有惯性力,系统位移,对于运动微分方程系统的主振动由机械能守恒系统的动能系统的势能,25,瑞利商,对应于位移方程,系统的第,r,阶固有频率,由展开定理，假设振型,瑞利商对应于位移方程系统的第 r 阶固有频率由展开定理，假设,26,可以证明,记,动力矩阵,隐含着一次矩阵迭代,可以推论,由柯西-许瓦兹不等式可以证明,可以证明记动力矩阵隐含着一次矩阵迭代可以推论由柯西-许瓦兹不,27,举例,采用瑞利法计算系统的基频,m,m,2,m,k,k,2,k,x,1,x,2,x,3,设,举例采用瑞利法计算系统的基频mm2mkk2kx1x2x3设,28,误差,瑞利商,设,误差,瑞利商,误差瑞利商设误差瑞利商,29,3-4,里兹,(Ritz),法,对于复杂工程问题，动力分析需要计算系统的,前几阶固有频率及相应的主振型,Ritz,法对,Rayleigh,法进行了修正，以实现计算低阶固有频率与振型的目的,Ritz,法是一种,减缩系统,自由度的近似计算方法,Ritz,法对系统的近似振型 X 给出更合理的假设,为选取的,k,个线性无关的假设振型,3-4 里兹(Ritz)法 对于复杂工程问题,30,待定常数向量,代入瑞利商,瑞利商成为a的函数,利用,瑞利商在真实主振型处取驻值,的性质，由极值条件,待定常数向量代入瑞利商瑞利商成为a的函数利用瑞利商在真实主振,31,多自由度体系近似计算方法-9课件,32,特征值问题的阶数,k,n,Ritz,法实际是一种,减缩系统,自由度数求解固有振动的近似计算方法,Ritz,法的基本思想,利用,k,个线性无关的假设振型,为,基底,在,n,维振型空间,中构成一个,k,维子空间,确定瑞利商在该,子空间的,k,个极值,将所得,k,个极值作为原系统,前,k,阶固有频率平方的近似值,特征值问题的阶数 k n Ritz 法实,33,n,自由度系统的固有频率,系统的前,k,阶主振型,证明,所得近似主振型关于 M 和 K 具有正交性,n自由度系统的固有频率系统的前 k 阶主振型证明所得近似主振,34,Ritz,法的一些性质,若假设振型恰好是主振型,Ritz,法求出的 就是系统的前,k,阶固有频率的精确值,Ritz 法的一些性质 若假设振型恰好是主振型,35,若假设振型线性无关，且均可表示为系统前,k,阶主振型的线性组合,构成,k,维子空间 R,k,的基底,构成,k,维子空间 T,k,的基底,子空间T,k,与R,k,等同,Ritz,法仍可求出系统的前,k,阶固有频率,和主振型 的精确解,若假设振型线性无关，且均可表示为系统前 k 阶主振型的线,36,Ritz,法只要选取的假设振型 能够使子空间 T,k,接近于子空间 R,k,，就能求得系统前,k,阶固有频率和主振型较好的近似解,Ritz,法计算的固有频率与精确解有如下关系,Ritz,法一般只能用来估算系统的前几阶固有频率及主振型,难点,是,k,维子空间的任一组基不知道,Ritz,法计算的固有频率中只有前一半的精度较高。实际计算中若要求系统的前,k,阶固有频率，假设的振型数目应取为2,k,计算精度,取决于假设的近似振型对真实振型的逼近程度,Ritz 法只要选取的假设振型,37,举例,采用,Ritz,法计算系统的钱而阶固有频率和主振型,m,m,2,m,k,k,2,k,x,1,x,2,x,3,假设振型,举例采用 Ritz 法计算系统的钱而阶固有频率和主振型mm2,38,多自由度体系近似计算方法-9课件,39,多自由度体系近似计算方法-9课件,40,多自由度体系近似计算方法-9课件,41,3-2,矩阵迭代法,3-3,瑞利,(Rayleigh),法,3-4,里兹,(Ritz),法,3-5,子空间迭代法,3-6,传递矩阵法,3-2 矩阵迭代法3-3 瑞利(Rayleigh)法3-4,42,