单击此处编辑母版标题样式,定义,主要内容,1.二次型及其标准形,二次型与它的矩阵是一一对应的,3.正定二次型,2.二次型的标准形,4.惯性定理,注意,5.正定二次型的判定,习题举例,例1.(填空或判断对错),二次型的标准形是唯一的 .,实二次型 的正惯性指数是 .,实n阶对称矩阵按合同分类共 .,复n阶对称矩阵按合同分类共 .,正定矩阵主对角线上的元素 .,A,B是n阶正定矩阵,那么AB是正定矩阵的条件是,.,解,例3.证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.,例4.用合同变换化矩阵,为对角矩阵.,例5.假设A是mn实列满秩矩阵,证明,主要内容与结论,1.二次型的矩阵表示：数域P上的二次型,与n阶对称矩阵是1-1对应的，从而利用数域P上的任意矩阵都与对角方阵合同来讨论和研究任意二次型替换成等价的所谓标准二次型、标准二次型。,2.矩阵的合同与二次型：线性替换,3.标准形与对称矩阵：,二、,化二次型为标准形的方法,1配方法：总结概述、举例：用配方法化二次型,为标准形，并与出所用的满秩的线性替换。,2.,变换法,：主要步骤A为二次型矩阵，E为单位矩阵,举例：用满秩线性替换X=CY，将二次型,化在标准形。,2.,顺序主子式法,：,如果 二次型的标准形为,举例：用雅可比方法化二次型,为标准形。,故二次型的标准型是,习题举例,Ex,.1：,证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1。,Ex.2：证明与对称矩阵合同的矩阵一定是对称矩阵。如果A与B合同，是否存在唯一的可逆矩阵P，使得A=PBP。不唯一,Ex.3：对n阶方阵A，B来说，证明：如果A与B合同，必有 ,举例说明反之不然。秩相同，一个对称，一个不对称,Ex,.4：,求下面二个二次型的秩与符号问 能否等价？,答案：,秩为3，符号差为1，等价。,Ex,.5：根据k的取值讨论二次型,的类型。,。,Ex.6：证明：如果二次型,中，某一平方项的系数 ,那么,不可能是正定的。,Ex.7：判定以下二次型是否正定：,(半正定),正定,Ex.,8:求二次型,的符号差。,解：,故A有n个特征根 。,二次型的标准形为 ，,它的符号差,s=(正特征根的个数)-(负特征根的个数)=n-1。,思考题：,1.E与-E是否合同？,答案,1.C上合同，R上不合同,2.是正定矩阵,