,第,1,课时导数与不等式,高考专题突破一高考中的导数应用问题,第1课时导数与不等式高考专题突破一高考中的导数应用问题,证明不等式,题型一,多维探究,命题点,1,构造函数法,例,1,(2020,赣州模拟,),已知,函数,若,曲线,y,f,(,x,),与曲线,y,g,(,x,),的一个公共点是,A,(1,1),，且在点,A,处的切线互相垂直,.,(1),求,a,，,b,的值；,证明不等式题型一多维探究命题点1构造函数法例1(2020,因为曲线,y,f,(,x,),与曲线,y,g,(,x,),的一个公共点是,A,(1,1),，,且,在点,A,处的切线互相垂直，,所以,g,(1),1,，且,f,(1),g,(1),1,，,所以,g,(1),a,1,b,1,，,g,(1),a,1,b,1,，,解得,a,1,，,b,1.,因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,2021届一轮复习人教A版-导数与不等式-ppt课件,所以,h,(,x,),在,1,，,),上单调递增,，所以,当,x,1,时，,h,(,x,),h,(1),0,，,所以h(x)在1，)上单调递增，所以当x1时，h(x,命题点,2,分拆函数法,例,2,(2019,福州期末,),已知,函数,f,(,x,),eln,x,ax,(,a,R,).,(1),讨论,f,(,x,),的单调性；,若,a,0,，则,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增；,命题点2分拆函数法若a0，则f(x)0，f(x),所以当,0,x,1,时，,g,(,x,)1,时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递增，,所以,g,(,x,),min,g,(1),e,，,综上，当,x,0,时，,f,(,x,),g,(,x,),，,证明,因为,x,0,，,当,a,e,时，由,(1),知，,f,(,x,),在,(0,1),上单调递增，在,(1,，,),上单调递减,.,所以,f,(,x,),max,f,(1),e,，,(2),当,a,e,时，证明：,xf,(,x,),e,x,2e,x,0.,所以当0,(1),利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函数的最值，然后,由,f,(,x,),f,(,x,),max,或,f,(,x,),f,(,x,),min,证得不等式,.,(2),证明,f,(,x,),g,(,x,),，可以构造函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，然后利用,h,(,x,),的最值证明不等式,.,(3),若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的,.,思维升华,SI WEI SHENG HUA,(1)利用导数证明不等式的基本思路是依据函数的单调性，求得函,跟踪训练,1,(1),设,函数,f,(,x,),ln,x,x,1.,讨论,f,(,x,),的单调性；,解,由题设知，,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,当,0,x,0,，,f,(,x,),单调递增,；,当,x,1,时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递减,.,跟踪训练1(1)设函数 f(x)ln xx1.解,证明,由,知，,f,(,x,),在,x,1,处取得极大值也为最大值，最大值为,f,(1),0.,所以,当,x,1,时，,ln,x,0,；当,x,(1,，,),时，,h,(,x,)0,时，,g,(,x,),h,(,x,),，即,f,(,x,)1.,所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时,不等式恒成立或有解问题,题型,二,师生共研,不等式恒成立或有解问题题型二师生共研,解,函数的定义域为,(0,，,),，,令,f,(,x,),0,，得,x,1.,当,x,(0,1),时，,f,(,x,)0,，,f,(,x,),单调递增；,当,x,(1,，,),时，,f,(,x,)0,，,所以,g,(,x,),为单调增函数，所以,g,(,x,),g,(1),2,，,故,k,2,，即实数,k,的取值范围是,(,，,2.,所以h(x)h(1)1，所以g(x)0，,引申探究,本例中,(2),若改为：,x,1,，,e,，使,不等式,f,(,x,),成立,，求实数,k,的取值范围,.,由本例,(2),解题知，,g,(,x,),为单调增函数，,引申探究本例中(2)若改为：x1，e，使不等式 f,利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略,(1),构造函数，利用导数求出最值，进而求出参数的取值范围,.,(2),分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题,.,思维升华,SI WEI SHENG HUA,利用导数解决不等式的恒成立或有解问题的策略思维升华SI WE,跟踪训练,2,已知,函数,f,(,x,),e,x,1,x,ax,2,.,(1),当,a,0,时，求证：,f,(,x,),0,；,证明,当,a,0,时，,f,(,x,),e,x,1,x,，,f,(,x,),e,x,1.,当,x,(,，,0),时，,f,(,x,)0.,故,f,(,x,),在,(,，,0),上单调递减，在,(0,，,),上单调递增，,f,(,x,),min,f,(0),0,，,f,(,x,),0.,跟踪训练2已知函数 f(x)ex1xax2.证明,(2),当,x,0,时，若,不等式,f,(,x,),0,恒成立，求实数,a,的取值范围,.,(2)当x0时，若不等式 f(x)0恒成立，求实数a的,解,f,(,x,),e,x,1,2,ax,，令,h,(,x,),e,x,1,2,ax,，,则,h,(,x,),e,x,2,a,.,当,2,a,1,，即,a,时,，,在,0,，,),上，,h,(,x,),0,，,h,(,x,),单调递增，,h,(,x,),h,(0),，即,f,(,x,),f,(0),0,，,f,(,x,),在,0,，,),上为增函数，,f,(,x,),f,(0),0,，,当,a,时,满足条件,.,当,2,a,1,，即,a,时,，,令,h,(,x,),0,，解得,x,ln(2,a,),，,解f(x)ex12ax，令h(x)ex12a,在,0,，,ln(2,a,),上，,h,(,x,)0,，,h,(,x,),单调递减，,当,x,(0,，,ln(2,a,),时，有,h,(,x,),h,(0),0,，,即,f,(,x,),f,(0),0,，,f,(,x,),在区间,(0,，,ln(2,a,),上为减函数，,f,(,x,),f,(0),0,，不合题意,.,在0，ln(2a)上，h(x)2.,一、函数零点设而不求,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数，,在,(0,，,x,0,),上,f,(,x,),单调递减，在,(,x,0,，,),上,f,(,x,),单调递增，,f,(,x,),在,x,x,0,处有极小值，也是最小值,.,故,f,(,x,)2,，即,e,x,ln,x,2.,f(x)在(0，)上是增函数，在(0，x0)上f,二、分离,ln,x,与,e,x,例,2,(2019,长沙三校统考,),已知,函数,f,(,x,),ax,2,x,ln,x,.,(1),若,函数,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，求实数,a,的取值范围；,二、分离ln x与ex,解,由题意知，,f,(,x,),2,ax,ln,x,1.,因为函数,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,易知,g,(,x,),在,(0,1),上单调递增，在,(1,，,),上单调递减，则,g,(,x,),max,g,(1),1,，,解由题意知，f(x)2axln x1.易知g(x),2021届一轮复习人教A版-导数与不等式-ppt课件,再令,(,x,),e,x,e,x,，则,(,x,),e,e,x,，,再令(x)exex，则(x)eex，,易知,(,x,),在,(0,1),上单调递增，在,(1,，,),上单调递减，则,(,x,),max,(1),0,，,所以,e,x,e,x,0.,故原不等式成立,.,易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减,三、借助,e,x,x,1,和,ln,x,x,1,进行放缩,例,3,(2019,长春质检,),已知,函数,f,(,x,),e,x,a,.,(1),若,函数,f,(,x,),的图象与直线,l,：,y,x,1,相切，求,a,的值,；,解,f,(,x,),e,x,，因为函数,f,(,x,),的图象与直线,y,x,1,相切,，,所以,令,f,(,x,),1,，,即,e,x,1,，得,x,0,，即,f,(0),1,，解得,a,2.,三、借助exx1和ln xx1进行放缩解f(x),(2),若,f,(,x,),ln,x,0,恒成立，求整数,a,的最大值,.,(2)若 f(x)ln x0恒成立，求整数a的最大值.,解,先证明,e,x,x,1,，设,F,(,x,),e,x,x,1,，,则,F,(,x,),e,x,1,，令,F,(,x,),0,，则,x,0,，,当,x,(0,，,),时，,F,(,x,)0,，当,x,(,，,0),时，,F,(,x,)ln,x,，,当,a,2,时，,ln,x,0,恒成立,.,当,a,3,时，存在,x,1,，使,e,x,a,ln,x,不恒成立,.,综上，整数,a,的最大值为,2,.,解先证明exx1，设F(x)exx1，,基础保分练,1.,已知,函数,f,(,x,),ln,x,x,，,g,(,x,),x,e,x,1,，求证：,f,(,x,),g,(,x,).,1,2,3,4,5,课时精练,基础保分练1.已知函数 f(x)ln xx，g(x),证明,令,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),ln,x,x,x,e,x,1(,x,0),，,1,2,3,4,5,当,x,(0,，,x,0,),时，,G,(,x,)0,，,F,(,x,)0,，,F,(,x,),为增函数；,证明令F(x)f(x)g(x)ln xxxex,当,x,(,x,0,，,),时，,G,(,x,)0,，,F,(,x,)0,，,F,(,x,),为减函数,.,1,2,3,4,5,F,(,x,0,),0,，即,F,(,x,),0,，,f,(,x,),g,(,x,).,当x(x0，)时，G(x)ln 2,1,时，,g,(,x,),的最小值为,g,(ln 2),2(1,ln 2,a,)0.,于是对任意,x,R,，都有,g,(,x,)0,，,所以,g,(,x,),在,R,内单调递增,.,于是当,a,ln 2,1,时，对任意,x,(0,，,),，都有,g,(,x,),g,(0).,又,g,(0),0,，从而对任意,x,(0,，,),，,g,(,x,)0.,即,e,x,x,2,2,ax,10,，故,e,x,x,2,2,ax,1.,(2),求证：当,a,ln 2,1,且,x,0,时，,e,x,x,2,2,ax,1.,12345证明设g(x)exx22ax1，xR.,3.,(2017,全国,),已知,函数,f,(,x,),ln,x,ax,2,(2,a,1),x,.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性；,解,f,(,x,),的定义域为,(0,，,),，,若,a,0,，则当,x,(0,，,),时，,f,(,x,)0,，,故,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增,.,1,2,3,4,5,3.(2017全国)已知函数 f(x)ln xax,1,2,3,4,5,12345,1,2,3,4,5,当,x,(0,1),时，,g,(,x,)0,；,12345当x(0,1)时，g(x)0；,1,2,3,4,5,当,x,(1,，,),时，,g,(,x,)0,时，,g,(,x,),0.,12345当x(1，)时，g(x)1),，都有,f,(,x,m,),2e,x,，求整数,k,的最小值,.,拓展冲刺练,123455.已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(,1,2,3,4,5,解,因为,f,(,x,),为偶函数，且当,x,0,时，,f,(,x,),2e,x,，,所以