单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3 条 件 概 率,一 条 件 概 率,二 乘 法 定 理,三 全概率公式和贝叶斯公式,目 录 索 引,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,一 条 件 概 率,条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。,它所考虑的是事件,A,已经发生的条件下事件,B,发生的概率。,吸烟有害健康,S,AB,B,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,条 件 概 率,设,A、B,是某随机试验中的两个事件，且,则称事件,B,在“事件,A,已发生”这一附加条件下的,概率为在事件,A,已发生的条件下事件,B,的条件概率,，简称为,B,在,A,之下的条件概率，记为,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例,1 盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别,为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放,回地取两次,则该试验的所有可能的结果为,(1,1)(1,2)(1,3)(1,4),(2,1)(2,2)(2,3)(2,4),(3,1)(3,2)(3,3)(3,4),(4,1)(4,2)(4,3)(4,4),其中(,i,j),表示第一次取,i,号球，第二次取,j,号球,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,设,A=,第一次取出球的标号为 2,B=,取出的两球标号之和为 4,则事件,B,所含的样本点为,(1,3)(2,2)(3,1),因此事件,B,的概率为:,若我们考虑在事件,A,发生的条件下，事件,B,发生的概率并记此概率为:,由于已知事件,A,已经发生，则该试验的所有可能结果为,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,(2,1)(2,2)(2,3)(2,4),这时，事件,B,是在事件,A,已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为,注：,由例1可以看出，事件在“条件,A,已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的,因此，有必要引入下面的定义：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,称为在事件,A,已发生的条件下事件,B,的条件概率，简称为,B,在,A,之下的条件概率。,在例 1 中，我们已求得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设,A、B,是某随机试验中的两个事件，且,则,还可求得,故有,返回主目录,条件概率的性质：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例,2已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率,则,所以,解：设,A=3,个小孩至少有一个女孩,B=3,个小孩至少有一个男孩,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,两个事件的乘法公式,由条件概率的计算公式,我们得,这就是两个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,多个事件的乘法公式,则有,这就是,n,个事件的乘法公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例,4 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了,n,次都未取出黑球的概率,解：,则,由乘法公式，我们有,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 5,设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的概率为,1/2,，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为,7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为,9/10,。求透镜落下三次而未打破的概率。,解：,以,A,i,(,i,=1,2,3),表示事件“透镜第,i,次落下打破”，以,B,表示事件“透镜落下三次而未打破”，有：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式和贝叶斯公式,S,A,1,A,2,A,n,.,BA,1,BA,2,.,BA,n,定义,设,S,为试验,E,的样本空间，,为,E,的一组事件。若满足,(1),(2),则称,为,样本空间,S,的一个,划分,。,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全 概 率 公 式：,设随机事件,满足：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的证明,由条件：,得,而且由,A,1,A,2,A,n,.,BA,1,BA,2,.,BA,n,S,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的证明（续）,所以由概率的可列可加性，得,代入公式（1），得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,全概率公式的使用,我们把事件,B,看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例6,某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率,解：,由全概率公式，有,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,Bayes,公 式,设随机事件,满足,全概率公式,条件概率,乘法定理,则,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,Bayes,公式的使用,我们把事件,B,看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件,B,已经发生，要求此时是由第,i,个原因引起的概率，则用,Bayes,公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 8,用某种方法普查肝癌，设：,A=,用此方法判断被检查者患有肝癌，,D=,被检查者确实患有肝癌，,已知,现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例,8,（续）,解：,由已知，得,所以，由,Bayes,公式，得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 9,袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率,解：,设：,B=,取出的球全是白球,则由Bayes公式，得,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例9（续）,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,例 10,某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的。根据以往的记录有以下的数据。,元件制造厂,次品率,提供晶体管的份额,1,0.02,0.15,2,0.01,0.80,3,0.03,0.05,S,B,1,B,2,B,3,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（,1）在仓库中随机的取一只晶体管，求它,是次品,的概率。,（2）在仓库中随机的取一只晶体管，若已知取到的是次品试分析此,次品出自那家工厂,的可能性最大。,解：,设,A,表示“取到的是一只次品”，,B,i,(,i,=1,2,3,),表示“取到的产品是由第,i,家工厂提供的”,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,元件制造厂,次品率,提供晶体管的份额,1,0.02,0.15,2,0.01,0.80,3,0.03,0.05,全概率公式,贝叶斯公式,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,元件制造厂,1 0.02 0.15,2 0.01 0.80,3 0.03 0.05,B,1,B,2,B,3,A,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,例10（续）,返回主目录,例 11,对以往的数据分析结果表明当机器调整得,良好时,，产品的,合格率,为,90%,而当机器发生某一,故障时,，其,合格率,为,30%,。每天早上机器开动时，机器调整,良好,的概率为,75%,。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？,机器调整得,良好,产品合格,机器发生某一,故障,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,解：,第一章 概率论的基本概念,3条件概率,返回主目录,