单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人民邮电出版社,高等学校21世纪教材,第五章 函 数,5.1 函数根本概念,5.2 函数类型,5.3 函数运算,5.4 基 数,退出,5.1 函数根本概念,函数也常称为映射或变换，其定义如下：,设A和B是任意两个集合，且F是从A到B的关系，假设对每一个xA，都存在唯一的yB，使F，那么称F为从A到B的函数，并记作F:AB。A称为函数F的定义域，即D(F)=A，B称为函数F的陪域，R(F)称为函数F的值域，且R(F)B。有时也用F(A)表示函数F的值域，即,F(A)=R(F)=y|yB(x)(xAy=F(x),并称F(A)为函数F的像。,对于F:AB来说，假设F，那么称x为函数的自变元，称y为函数因变元，因为y值依赖于x所取的值，或称y是F在x处的值，或称y为F下x的像。通常把F记作F(x)=y。,从本定义可以看出，从A到B的函数F和一般从A到B的二元关系之不同有以下两点：,A的每一元素都必须是F的有序对之第一分量。,假设F(x)=y，那么函数F在x处的值是唯一的，即,F(x)=yF(x)=zy=z,考虑到习惯用法，以下常常将大写函数符号F改为小写字母f。,设f:AB，g:CD，假设A=C，B=D，且对每一xA都有f(x)=g(x)，那么称函数f和g相等，记为f=g。,本定义说明了，两函数相等，它们必须有相同的定义域、陪域和有序对集合。,有时需要缩小所给函数的定义域，或扩大所给函数的定义域以创立新的函数，为此有下面定义。,设f:AB，且CA，假设有,g=f(CB),那么称g是f到C的缩小，记为f|c，即g为C到B的函数：,g:CB,g(x)=f(x),或 f|c(x)=f(x),设f:CB，g:AB，且CA，假设g|c=f，那么称g是f到A的扩大。,下面讨论由集合A和B，构成这样函数f:AB会有多少呢？或者说，在AB的所有子集中，是全部还是局部子集可以定义函数？令BA表示这些函数的集合，即,BA=f|f:AB,设|A|=m，|B|=n，那么|BA|=nm。这是因为对每个自变元，它的函数值都有n种取法，故总共有nm种从A到B的函数。,上面介绍一元函数，下面给出多元函数的定义。,设A1,A2,An和B为集合，假设f:AiB为函数，那么称f 为n元函数。在上的值用f(x1,x2,xn)表示。,一元函数中概念对n元函数几乎完全适用，在这里不多讨论了。,5.2 函数类型,根据函数具有的不同性质，可以将函数分成不同的类型。本节将定义这些函数，并给出相应的术语。,设f:AB是函数，假设R(f)=B，或对任意bB，存在aA，使得f(a)=b，或形式表为：,(y)(yB(x)(xAf(x)=y),那么称f:AB是满射函数，或称函数f:AB是满射的。,本定义说明了，在函数f的作用下，B中每个元素b，都至少是A中某元素a的像，因此，假设A和B是有穷集合，存在满射函数f:AB，那么|A|B|。,设f:AB是函数，对任意的a，bA，且ab，都有f(a)f(b)，或形式表为,(x)(y)(x,yAxyf(x)f(y),那么称f:AB是单射函数或一对一函数，或称函数f:AB是单射的，或入射的。,本定义揭示了，A中不同的元素，其在B中像也是不同的。于是，假设A的B是有穷集合，存在单射函数f:AB，那么|A|B|。,设f:AB是函数，假设f既是满射又是单射，那么称f:AB是双射函数或一一对应，或称函数f:AB是双射的。,该定义说明了，B中的每个元素b是且仅是A中某个元素a的像。因此，假设A和B是有穷集合，存在双射函数f:AB，那么|A|=|B|。,设f:AB是函数，假设存在bB，使对任意aA有f(a)=b，即f(A)=b，那么称f:AB为常值函数。,设f:AA是函数，假设对任意aA，有f(a)=a，亦即,f=|xA,那么称f:AA为A上恒等函数，通常记为IA，因为恒等关系即是恒等函数。,由定义可知，A上恒等函数IA是双射函数。,设A和B为集合，且AB，假设函数A:B0,1为,1 xA,xA(x)=,0 否那么,那么称xA为集合A的特征函数。,特征函数建立了函数与集合的一一对应关系。于是，可通过特征函数的计算来研究集合上的命题。,定理5.2.1 设A和B是全集合U的任意两个子集。对任意xU，那么以下关系式成立。,A(x)=0A=,A(x)=1A=U,A,(,x,),B,(,x,),A,B,A,(,x,)=,B,(,x,),A,=,B,A,(,x,)=1-,A,(,x,),A,B,(,x,)=,x,A,(,x,)*,x,B,(,x,),A,B,(,x,)=,A,(,x,)+,B,(,x,)-,A,B,(,x,),A,-,B,(,x,)=,A,B,(,x,)=,A,(,x,)-,A,B,(,x,),其中+，-，*，为通常的算术运算+，-，和,。,设和为全序集，函数f:AB。对于任意a,bA.,假设ab，有f(a)f(b)，那么称f为单调递增函数。,假设ab，有f(a)f(b)，那么称f为单调递减函数。,假设ab，且ab，有f(a)f(b)，那么称f为严格单调递减函数。,显然，严格单调递增函数是单调递增函数，严格单调递减函数是单调递减函数。,设R是非空集合A上的等价关系，且函数f:AA/R，f(a)=aR，aA，那么称f是从A到商集A/R的自然映射。,自然映射在代数结构中有重要的应用。,设p:AA为函数，假设p是双射，那么称p为A上的置换。,置换在群论中作为一节进行讨论，有着重要的应用。,5.3 函数运算,函数是一种特殊关系，对关系可以进行运算，自然对函数也需要讨论运算问题，即如何由函数得到新的函数。,1函数复合,利用两个具有一定性质的函数通过复合运算可以得到新的函数。,设f:AB和g:BC是函数，通过复合运算o，可以得到新的从A到C的函数，记为gof，即对任意aA，有(gof)(x)=g(f(x)。,注意，函数是一种关系，今用斜体“o表示函数复合运算，记为gof，这是“左复合，它与关系的“右复合fog次序正好相反，为区分它们在同一公式中的出现，用粗体符号表示关系复合fog，故有gof=fog。,推论1 假设f,g,h都是函数，那么(fog)oh=fo(goh)。,本推论说明，函数复合运算是可结合的。,假设对于集合A，f:AA，那么函数f能同自身复合成任意次。f的n次复合定义为：,f 0(x)=x,f n+1(x)=f(fn(x)，nN。,设f:AB，g:BC,假设f:AB，g:BC都是满射，那么gof:AC也是满射。,假设f:AB，g:BC都是单射，那么gof:AC也是单射。,假设f:AB，g:BC都是双射，那么gof:AC也是双射。,假设f:AB是函数，那么f=foIA=IBof。,本定理揭示了，恒等函数在复合函数运算中的特殊性质，特别地，对于f:AA，有foIA=IAof=f。,2函数逆运算,给定关系R，其逆关系是存在，但对一函数，它作为关系其逆是存在，但未必是函数。例如，A=a,b,c，B=1,2,3，f=,是函数，而f-1=,却不是从B到A的函数。但假设f:AB是双射，那么f-1便是从B到A的函数。,假设f:AB是双射，那么f-1:BA也是双射。,设f:AB是双射函数，称 f-1:BA是f的逆函数，习惯上常称f-1为f的反函数。,设f:AB是双射函数，那么 f-1of=IA，fof-1=IB,假设f:AB是双射，那么(f-1)-1=f。,5.4 基 数,1基数定义,首先选取一个“标准集合Nn=0,1,2,n-1，称它为N的截段n；再用双射函数为工具，给出集合基数的定义如下：,设A是集合，假设f:NnA为双射函数，那么称集合A是有限的，A的基数是n，记为|A|=n，或card A=n。假设集合A不是有限的，那么称A是无穷的。,本定义说明了，对于有限集合A，可以用“数数的方式来确定集合A的基数。,自然数集合N是无穷的。,为了确定某些无穷集合的基数，选取第二个“标准集合N来度量这些集合。,设A是集合，假设f:NA为双射函数，那么称A的基数是0，记为|A|=0。,显然，存在从N到N的双射函数，故|N|=0，0读作“阿列夫零。符号0是康托引入的。,假设f:NnA是双射函数，那么示意A的元素是可“数的，但“数的过程可能不会终止，这导致了如下定义：,设A是集合，假设f:NnA是双射函数，那么称集合A是可数的；假设|A|=0，那么称A是可数无穷的；假设A是不可数的，那么称A是不可数的或不可数无穷的。,可以证明下面一个很有用的定理：,假设集合A1,A2,A3,都是可数的，那么 Ai 是可数的。,本定理说明了，可数集合的可数个并是可数的。其证明略去了。,在上述基数定义中，是使用两个“标准集合Nn和N以及双射函数或一一对应，引入了集合基数的概念。这种方式可以把基数简单地看作对集合指派一个符号，指派原那么是：与Nn构成双射或一一对应的集合，指派它的基数是n，与N构成双射或一一对应的集合，指派它的基数为0。指派空集的基数为0。,2基数比较,在有了集合基数的根底上，可以建立相等关系和次序关系，进行基数比较和基数运算，这里仅讨论前者。,设A和B为任意集合。,假设有一个从A到B的双射函数，那么称A和B有相同基数或称A与B是等势，记为|A|=|B|或AB。,假设有一个从A到B的单射函数，那么称A的基数小于等于B的基数，记为|A|B|。,假设有一个从A到B的单射函数，但不存在双射函数，那么称A的基数小于B的基数，记为|A|B|。,由于在复合运算下，双射函数是封闭的，双射函数的逆函数即常说反函数是双射函数，因此等势关系有以下性质：,等势是任何集合族上的等价关系。,综上可见，等势关系是个等价关系。,从上面定义及定理可知：,等势是集合族上的等价关系，它把集合族划分成等价类，在同一等价类中的集合具有相同的基数。因此可以说：基数是在等势关系下集合的等价类的特征。或者说：基数是在等势关系下集合的等价类的名称。这实际上就是基数的一种定义。例如，3是等价类a,b,c,p,q,r,1,2,3,的名称或特征。0是自然数集合N所属等价类的名称。,要证明一个集合A有基数，只需选取基数为的任意集合B，证明从A到B或从B到A存在一个双射函数。选取集合B的原那么是使证明尽可能容易。,上述定义中选用符号和，是因为它们具有这些符号的通常性质。然而，要证明这些性质是冗长和复杂的。下面将不加证明地引入说明这些性质的两个定理。第一个定理称为三歧性定律。第二定理说明：是反对称的。,Zermelo设A和B是任意两个集合，那么下述情况恰有一个成立：,|A|B|B|A|A|=|B|,Cantor-Schroder-Bernstein设A和B是任意两个集合，假设|A|B|和|B|A|，那么|A|=|B|。,本定理对证明两集合具有相同基数提供了有效的方法。假设能够构造一单射函数f:AB，那么有|A|B|；又能构造另一个单射函数g:BC，以证明|B|A|。于是根据本定理即可得出|A|=|B|。特别要注意，f和g不必是满射。因为通常构造这样两个单射函数比构造一个双射函数要容易许多。,设A是有限集合，那么|A|0。,每个无穷集合包含一可数无穷集合。,注意，本定理证明中应用“选择公理：假设A是非空集合族，那么存在集合B，使B恰好包含A中每个子集里的一个元素x。,0是最小无穷集合的基数。,下面定理说明了，没有最大基数和没有最大集合。,Cantor设A是任意集合，那么|A|P(A)|。,应用本定理，可以构造一个可数无穷的无穷基数的集合，其中每一个都大于它前边的一个,|N|P(N)|P(P(N)|。,