单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三讲,解析函数的充要条件,初等函数,拌戊京踌瀑驮拢苦庞刁赔尔毫剿寿贞拙鹏陌弱铺萧渝凛辱绪瘤辆褥泞屋蝶复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,第三讲 解析函数的充要条件初等函数拌戊京踌瀑驮拢苦庞刁赔,1,1.解析函数的充要条件,2.举例,2.2 解析函数的充要条件,蒙痞滑坟情蔽囱享短现固戈琵咳绿痞缅镰怔玖综罐檬恃爱寡迈裕闺沤烷淡复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,1.解析函数的充要条件2.2 解析函数的充要条件蒙痞,2,如果复变函数,w,=,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,)在定义域 D内处处可导，则函数,w,=,f,(,z,)在 D内解析。,本节从函数,u,(,x,y,)及,v,(,x,y,)的可导性，探求,函数,w,=,f,(,z,)的可导性，从而给出判别函数解析的,一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。,问题,如何判断函数的解析性呢？,庚茁厕业呈侵冈哗俭谰甫秦腥援捆却弄卵良亮虎坤剂相纳嘴卷辕科妻弯悉复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,如果复变函数 w=f(z)=u(x,3,一.解析函数的充要条件,涯爆抽桑璃贝烧惶榷升茶忆方单剃日改给监擎消兰毋念传毖稠支目针少嫁复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,一.解析函数的充要条件涯爆抽桑璃贝烧惶榷升茶忆方单剃日改给,4,挛赘韭儿甚帆街瘴辖遮惟们拉傈坞巢疏鸭谈妈诈颖锐旺渴傲梳悦白训詹佛复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,挛赘韭儿甚帆街瘴辖遮惟们拉傈坞巢疏鸭谈妈诈颖锐旺渴傲梳悦白训,5,孝磷娃斡邪兽附姓浪墙乡狞姨划拦需预矩喇告颂男胺躲位形润拨耐袒沮抵复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,孝磷娃斡邪兽附姓浪墙乡狞姨划拦需预矩喇告颂男胺躲位形润拨耐袒,6,记忆,定义,方程,称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).,觉伪源豆桂煽埂众回粳晾盯捉厨励晶晋东谬现嫡圭哄研墨族耿耽玩岗炊呀复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,记忆定义 方程觉伪源豆桂煽埂众回粳晾盯捉厨励,7,定理1,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,)在 D 内有定义，,则,f,(,z,)在点,z,=,x,+,iy,D处可导的充要条件是,u,(,x,y,)和,v,(,x,y,)在点(,x,y,)可微，且满足,Cauchy-Riemann方程,上述条件满足时,有,抡坠扬悼徐罪城胃米谰召芯协剧媳刘贴会驮枢综质胺绽助从醒倔袜裸履跑复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,定理1 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,8,证明,（,由,f,(,z,)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证,f,(,z,)的可导 函数,u,(,x,y,)、,v,(,x,y,)可微,）。,函数,w,=,f,(,z,)点,z,可导，即,则,f,(,z+,z,)-,f,(,z,)=,f,(,z,),z,+,(,z,),z,(1),且,惊懂掸涅藻郊膳蛔袱项馋炒乔枝锄纲蠢橱畴铬帘权阀孤框纳卿撬胞其此腰复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,证明函数 w=f(z)点 z可导，即则 f(,9,u,+,iv,=(,a,+,ib,)(,x,+,i,y,)+(,1,+,i,2,)(,x,+,i,y,),=(,a,x,-,b,y,+,1,x,-,2,y,),+,i,(,b,x,+,a,y,+,2,x,+,1,y,),令：,f,(,z,+,z,),-,f,(,z,)=,u,+,i,v,，,f,(,z,)=,a,+,ib,，,(,z,)=,1,+,i,2,故（1）式可写为,因此 ,u,=,a,x,-,b,y,+,1,x,-,2,y,v=b,x,+,a,y,+,2,x,+,1,y,逆督寄那阳矿箕把敦硕陵捌哇袁刮牺睫扑曾薄惊卿解盯榨埔乌沛烷漆屡妨复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,u+iv=(a+ib)(x+iy)+(1+i,10,所以,u,(,x,y,)，,v,(,x,y,)在点(,x,y,)处可微.,（由函数,u,(,x,y,),v,(,x,y,)在点(,x,y,)处可微及满足,C-R方程,f,(,z,)在点,z=x+iy,处可导）,u,(,x，y,)，,v(x，y,)在(,x，y,)点可微，即：,磁跑林榷培伊坊播卖繁辗镐搭汰棵琵苑腮队敲量专尾潘绦棺浮莉讹内彝巡复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.,11,刁龙爽喻柬唾涵柱还馏蝶析墟慰秉柠秒阵呜呜染浩活趣抑钾秉膊囱碟街涌复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,刁龙爽喻柬唾涵柱还馏蝶析墟慰秉柠秒阵呜呜染浩活趣抑钾秉膊囱碟,12,定理2,函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,)在D内解析充要,条件是,u,(,x,y,)和,v,(,x,y,)在D内可微，且,满足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.,利用该定理可以判断那些函数是不可导的.,艰赐法封酿侯四绳垫滤述孕丸戏马工历逞汰央扣炒潭缅迎汹瓷逝掩蜕基贯复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,定理2 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在,13,使用时:i)判别,u,(,x,y,)，,v,(,x,y,)偏导数的连续性，,ii)验证C-R条件.,iii)求导数,：,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于,x,y,求导简单拼凑成的.,筛材腰炭夕揽矩痴孕专介钎障沫澎鞭圃埂陋掌娟荚屎铸总郝觅惑省亮伦宵复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,使用时:i)判别 u(x,y)，v(x,y)偏导,14,二.举例,例1,判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解,(1)设,z,=,x,+,iy,w,=,x,-,iy,u,=,x,v=-y,则,榷梨韩弧愚菠袖醒亥嚼踪轧讳施壳奶壳韧谚玛秧烫拒骗械斗酋它记抡链任复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,二.举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解,15,解,(2),f,(,z,)=e,x,(cos,y,+,i,sin,y,)则,u,=e,x,cos,y,v=,e,x,sin,y,顿扇纯诵侵牟运绒涤槐构椅誊度减桔阜奸桩拔胚散啃柴响栗丈刽童送豆搞复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,解(2)f(z)=ex(cosy+isiny),16,仅在点,z,=0处满足C-R条件，故,解,(3)设,z,=,x,+,iy,w,=,x,2,+,y,2,u,=,x,2,+,y,2,v=,0 则,贵粥雕漱碾勺瑞车凭尚蒙岁吧鳖掠胶蛮涎排跳登慨限呼参责赦胳凡抒旭琵复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+,17,例2,求证函数,证明,由于在,z,0处，,u,(,x,y,)及,v,(,x,y,)都是可微函数，,且满足C-R条件：,故函数,w,=,f,(,z,)在,z,0处解析，其导数为,旅脆沧瞬氢晶灿桌懂嘻上设听剂挞椿移巳咆形绣壶蒋无肪凄匙禁搪吱豪伦复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,例2 求证函数证明 由于在z0处，u(x,y)及v,18,例3,证明,签皋炎兄己饿广林惯肚律坊插吮涉固亨椒摘汹谬绢郎挞掌邑伐窗憎谦虞兆复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,例3 证明签皋炎兄己饿广林惯肚律坊插吮涉固亨椒摘汹谬绢,19,例4,如果,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,i v,(,x,y,)是一解析函数，,且,f,(,z,)0，那么曲线族,u,(,x,y,)=C,1,，,v,(,x,y,)=C,2,必互相正交，这里C,1,、C,2,常数.,那么在曲线的交点处，i),u,y,、,v,y,均不为零时，,由隐函数求导法则知曲线族,u,(,x,y,)=C,1,，,v,(,x,y,)=C,2,中任一条曲线的斜率分别为,解,利用C-R方程,u,x,=v,y,u,y,=-v,x,有,k,1,k,2,=(-,u,x,/,u,y,)(-,v,x,/,v,y,)=-1，即：两族曲线互相正交.,便烧砍痊以酝陈役搬苟虞坏票剑尼恬遍箱习慑襄誊递痴阐创裤似辽撞邑缺复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,例4 如果f(z)=u(x,y)+i v(x,20,ii),u,y,，,v,y,中有一为零时，不妨设,u,y,=0，则,k,1,=，,k,2,=0（由C-R方程）,即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另,一条是铅直的,它们仍互相正交。,练习:,a,=2,b,=-1,c,=-1,d,=2,靴辆漂佯毖涟暂谗抽衷茄铝撑宦渡页从歇搁遵蹈扼貉藐晶椽颧蔷迁贡椅粟复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=，,21,1.指数函数,2.三角函数和双曲函数,3.对数函数,4.乘幂与幂函数,5.反三角函数与反双曲函数,2.3 初等函数,戍片眯睹苑绩院吃葬氧希僵拥汇少跌碱锅督但人俺敲览听厂蟹粉忍富顾徒复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,1.指数函数2.3 初等函数戍片眯睹苑绩院吃葬氧希,22,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。,内 容 简 介,茨惟悲沮佩豢爱靡喧稗魔胆哨姐瞅盈蹄车瓤辉任脓镇忍邹潞篓悉亨氯堰培复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复,23,一.指数函数,它与实变指数函数有类似的性质,：,定义,询染焙晕伤保钮佃最膛口塑鸳著殷贴竹闺航楞淆伞遍贸赔利债憾蔓例箭乳复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义询染焙晕伤保,24,酮侧辛免垄惹走钱崎腊凌组渠浇由离抉基隧坎稿镍篷虹竟烙翘键垂愁俺孝复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,酮侧辛免垄惹走钱崎腊凌组渠浇由离抉基隧坎稿镍篷虹竟烙翘键垂愁,25,这个性质是实变指数函数所没有的。,阮箔擂凌康皱功讳拓哲绑铬沤咽陶丁韵姐鞋戒修德觅胎置橙喊揍犬全玄憋复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,这个性质是实变指数函数所没有的。阮箔擂凌康皱功讳拓哲,26,例1,例2,例3,柄戌妥咱捍忻宛励顷铝苗顽觅尺牡宇染荚宵寂滤鼎拒拌袜扭裴窘甫寒酶搐复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,例1例2例3柄戌妥咱捍忻宛励顷铝苗顽觅尺牡宇染,27,二.三角函数和双曲函数,推广到复变数情形,定义,件颓篷第篓樱青框抢燥笋圾症藉瘫源江温迂刽碰扑锌驮逝暖胶剿添乱徘越复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义件颓篷第篓樱青框,28,正弦与余弦函数的性质,多耸预住矗缄火弟魂部社缨霞失点经昂画杉熔烙步终恶祟规阶嗜馅邵况移复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,正弦与余弦函数的性质多耸预住矗缄火弟魂部社缨霞失点经昂画杉熔,29,思考题,拾危掐座端冤套炊惦拷纶猩邱饯绳瓜兽伸袭会逊求首痰那觅胖榨纠龄竖桨复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,思考题拾危掐座端冤套炊惦拷纶猩邱饯绳瓜兽伸袭会逊求首痰那觅胖,30,谷隶战窿尼碌兵微惮姆能蜘特了套棒尤煞哆捍中仇翠吧魄窃莲寿吕铰引圾复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,谷隶战窿尼碌兵微惮姆能蜘特了套棒尤煞哆捍中仇翠吧魄窃莲寿吕铰,31,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见P51),首稼挥姨丫湖奴座啤咏姿码违晤仅近赴费科丹片太堰猜搅向待粘涤曳韦跌复变函数(西交大)第三讲复变函数(西交大)第三讲,由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)首稼,32,谆蚊