单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,序的应用,长沙市雅礼中学 龙凡,基本的序,4 12 31 24 43 25 34,4 12 24 25 31 34 43,大小序,1,2,3,4,5,6,7,1 2 4 6 7 5 3,DFS,序,1 2 4 7 5 3 6,拓扑序,二分查找,连通性问题,动态规划,序是数据之间隐藏的一种基本关系：,序的应用,使得一个问题得到直接解决（大多是交互式问题）,应用序，挖掘题目的深层性质，使得问题得到转化。,下面着重通过两个例子来探讨如何应用序来转化问题。,树的构造,问题描述：一棵含有,n,个节点的树，所有的节点依次编号为,1,2,3,n,，每个节点,i,有一个权值,s(i,),，也分别是,1,2,3,n,，并且各不相同。对于编号为,v,的节点，定义,t(v,),为,v,的后代中所有权值小于,s(v,),的节点个数。,现在给出这棵树及,t(1),t(2),t(n),，请你求出这棵树每个节点的权值。,树的构造,已知,T,构造,S,4,2,6,5,7,8,1,9,3,S,4,9,7,8,2,1,3,5,6,4,2,6,5,7,8,1,9,3,T,3,1,3,1,0,0,0,0,0,为了理解题目我们来看一个实例：,树的构造,我们来考虑这个树的,DFS,序列：,4,2,6,5,7,8,1,9,3,3,3,1,0,1,0,0,0,0,1(,3,)2(,1,)4(,0,)5(,0,)7(,0,)3(,3,)6(,1,)8(,0,)9(,0,),DFS,序列的重要性质：,所有的子孙都紧跟着该节点之后出现。,树的构造,由于权值分别是,1,2,3,n,。我们不妨认为从左到右有,N,个格子，如果从左数第,I,个格子填入了节点,J,，则,S(j,)=i,。,4,2,5,1,7,8,6,3,9,4,2,6,5,7,8,1,9,3,3,1,3,1,0,0,0,0,0,4,2,6,5,7,8,1,9,3,4,9,7,8,2,1,3,5,6,一组可行解,左数第,4,个位置,左数第,7,个位置,树的构造,不能漏填，也不能冲突。,每个格子的左边，都恰好有,t(i,),个格子填入了自己的子孙。,不能超出,1n,的边界范围。,如果我们按照,DFS,的顺序，依次填写节点。对于每个节点,j,的左边，则必须预留下至少,t(j,),个空格给权值比他小的子孙。,所有的子孙都紧跟着该节点之后出现。,看看“填”的时候的具体要求,树的构造,依次按,DFS,序填写每个节点时，对于节点,J,，给他的子孙恰好预留,t(j,),个空位，即,j,填在第,t(j)+1,个空格，就是可行解,4,2,5,1,7,8,6,3,9,4,2,6,5,7,8,1,9,3,3,1,3,1,0,0,0,0,0,1(,3,)2(,1,)4(,0,)5(,0,)7(,0,)3(,3,)6(,1,)8(,0,)9(,0,),4,2,6,5,7,8,1,9,3,4,9,7,8,2,1,3,5,6,可以假设节点个数,N,较小的情况下满足条件，并且解只会占用前,N,个空格。然后用数学归纳法对每一颗子树进行归纳证明。,树的构造,已知一个一维线形结构,最开始所有位置为空。根据,DFS,序列，每次插入一个元素,j,，到第,t(j)+1,个空位置,求出最终状态,借助线段树或树状数组等数据结构可以将问题在,O(N log N),时间复杂度内解决，空间复杂度为,O(N),看看转化后的问题：,小结,通过对题目特点的分析，借助,DFS,序列的性质，对原问题进行转化。,合理的使用数据结构，最终完整解决问题。,问题描述：,N,个士兵在进行队列训练，从左至右有,M,个位置。每次将军可以下达一个命令，表示为,Goto(L,S,),1.,若队列,L,位置上为空，则士兵,S,站在,L,上。,2.,若队列,L,位置上有士兵,K,，则士兵,S,站在,L,上，并执行,Goto(L+1,，,K),将军依次下达,N,个命令，每个士兵被下达命令一次且仅一次。要你求出最后队列的状态。（有可能在命令执行过程中，士兵站的位置标号超过,M,）,士兵排队,就是把,L,位置及其右方的一段士兵向右推移一格，为,S,腾出位置，然后,S,站在,L,上。,士兵排队,Goto(4,1),Goto(4,2),Goto(5,3),Goto(2,4),Goto(4,5),Goto(3,6),1,2,3,4,5,6,N=6 M=5,一个简单的例子,士兵排队,直接模拟的最坏时间复杂度为,O(N,2,),，效率十分低下。,使用平衡二叉树，可以得到一个,O(N log(N+M),的算法。但平衡二叉树时间复杂度常数系数比较大，而且较难实现。,不妨抛开纯粹模拟的思路，另辟蹊径。,我们来进行一下初步分析：,士兵排队,先来看最基本的情况：,Goto(2,1),Goto(2,2),1,2,可见：如何高效处理插入带来的连锁移动是本题的关键！,能不能通过特殊的处理来避免连锁移动呢？,NewGoto(2,2),NewGoto(2,1),士兵排队,注意到上面的例子中,1,因为,2,的插入而向右移动了一格。,我们要避免连锁移动，就是希望通过一个规则，使得士兵,1,能够直接插入到,3,号位置。我们可以先插入士兵,2,而不是士兵,1,，然后再将士兵,1,插入到第,2,个,空位置,中。,具体地说，定义：,newgoto(L,S,),命令，将,S,士兵插入到第,L,个空位置,中。,1,2,Goto(2,1),Goto(2,2),这就是上一题我们最后要实现的操作！,事实上原,Goto,序列只要把,(L,S),数对合理交换位置，就和,NewGoto,序列,等价,士兵排队,1,2,NewGoto(2,2),NewGoto(2,1),Goto(2,1),Goto(2,2),士兵排队,复杂一点的情况：,Goto(4,1),Goto(4,2),Goto(5,3),Goto(2,4),Goto(4,5),Goto(3,6),NewGoto(4,5),NewGoto(5,3),NewGoto(4,2),NewGoto(4,1),NewGoto(3,6),NewGoto(2,4),1,2,3,4,5,6,B,如果我们可以将,Goto,序列的,(L,S),数对，高效合理的改变顺序，转化为,NewGoto,序列，则模拟,NewGoto,命令就是上题最后转化成的一维线性填数问题。,士兵排队,有两条根本性的原则：,如果,A,因,B,插入而被连锁移动。则和,A,B,有关的两条,NewGoto,命令，,B,要在,A,之前。,如果,A,B,没有关联，而,A,最终位置在,B,之前，则,NewGoto,序列中，,B,要在,A,之前。,B,.,.,A,Goto(LA,A,),Goto(LB,B,),第,LA,个空位置,.,.,A,第,LA,个空位置,NewGoto(LB,B,),NewGoto(LA,A,),第LA个空位置的具体位置被推移！,.,士兵排队,1,2,3,4,5,6,5 3 2 1 6 4,我们需要知道最终位置。,我们需要知道谁被谁造成连锁移动。,我们无法直接构图。,一组等价的NewGoto序列,如果构造一个图，与,A,相关的,NewGoto,命令要在与,B,相关的之前，则,A,B,之间连一条边,A-B,，那么我们就是要获得这个图拓扑序。,3,4,考虑利用两条基本性质，直接构造拓扑序。,用并查集存储每个不相干的部分及,单独构造,(,假设每个块互相不影响,),的,NewGoto,序列。,当两个块因为插入而要合并时，顺便将两个块的,NewGoto,序列合并。,最后将所有未合并的部分的序列，根据,位置在后的块序列上靠前的原则，合并完整的,NewGoto,序列。,2 6 3 4 1 5,6,士兵排队,3,2,1,4,5,2,1,5,2,6,3,4,并查集并不需要，也无法存储每个部分内元素之间的相对位置！,NewGoto(L,1,1),NewGoto(L,5,5),士兵排队,当士兵,A,直接插入到一个已经属于某一个块,B,的位置中时，就将与,A,相关的,NewGoto,命令插入,B,块的,NewGoto,命令序列首。,当士兵,A,的插入引起了一个或者多个块相连时，则根据,位置在后的块序列上靠前的原则,来对他们进行合并。,用一个链表来存储单个部分的,NewGoto,序列，因为他只涉及插入到序列首，和首尾相接合并两个操作,我们来具体讨论如何合并：,.,.,.,b,1,b,i,A,B,a1,B,ak,A,B,a1,B,ak,A,6,3,2,1,4,5,2,1,5,3,4,2,6,3,4,士兵排队,Goto(4,1),Goto(4,2),Goto(5,3),Goto(2,4),Goto(4,5),Goto(3,6),1,2,3,4,5,6,具体实现的例子：,1,2,1,3,2,1,4,5,3,2,1,5,3,2,1,6,4,士兵排队,根据,Goto,序列构造,NewGoto,序列。转化成前一题最终转化成的一维线性填数问题。,使用线段树等工具在,O(N log(N+M),时间内解决转化后问题。,总时间复杂度,O(N log(N+M),，空间复杂度,O(N+M),。,现在来整理整个算法：,总结,通过适当的分析，应用不同的序，将两个截然不同的问题转化成了同一个问题。,提示我们在平时做题时要充分挖掘题目的本质。,同时大胆的尝试，去实现自己的想法。,谢谢大家,