单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/6/30,0,第十,一,章,三角形,11.2.1,三角形的内角,第十一章三角形11.2.1 三角形的内角,1,教学目标,2.,会运用三角形内角和定理进行计算,.,（难点）,1,.,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形,内角,和等于,180,.,（重点）,3.,了解直角三角形两个锐角的关系,.,（重点）,4,.,掌握,直角三角形的判定,.,（难点）,5,.,会运用,直角三角形的性质和判定进行相关计算,.,（难点）,教学目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用,新课导入,我的形状最小，那我的内角和最小,.,我的形状最大，那我的内角和最大,.,不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的,.,一天,，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧,.,情境引入,新课导入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的,新课导入,我们,在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于,180,，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的,.,思考：,除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为,180,呢,?,折叠,还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？,新课导入我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180,新课导入,三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角,.,观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明,.,从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,还有其他的拼接方法吗？,探究：,在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起,.,一、三角形,的内角和定理的证明,新课导入三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果,新知探究,验证结论,三角形三个内角的和等于,180,.,求证：,A,+,B,+,C,=180.,已知：,ABC.,证法,1,：过点,A,作,l,BC,，,B,=1.,(,两直线平行,内错角相等,),C,=2.,(,两直线平行,内错角相等,),2+1+,BAC,=180,，,B,+,C,+,BAC,=180.,1,2,新知探究验证结论三角形三个内角的和等于180.求证：A+,新知探究,证法,2,：,延长,BC,到,D,，,过点,C,作,CEBA,，,A,=1.,(,两直线平行，内错角相等,),B,=2.,(,两直线平行，同位角相等,),又,1+2+,ACB,=180,，,A,+,B,+,ACB,=180.,C,B,A,E,D,1,2,新知探究证法2：延长BC到D，过点C作CEBA，CBAED,新知探究,C,B,A,E,D,F,证法,3,：过,D,作,DE,AC,作,DF,AB,.,C,=,EDB,B,=,FDC.,(,两直线平行，同位角相等,),A,+,AED,=180,AED,+,EDF,=180,，,(,两直线平行，同旁内角相补,),A=,EDF.,EDB,+,EDF,+,FDC,=180,，,A,+,B,+,C,=180.,想一想：,同学们还有其他的方法吗？,新知探究CBAEDF证法3：过D作DEAC,作DFAB.,新知探究,思考：,多种方法证明三角形内角和等于,180,的核心是什么？,借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角,.,C,A,B,1,2,3,4,5,l,A,C,B,1,2,3,4,5,l,P,6,m,C,B,A,1,2,新知探究思考：多种方法证明三角形内角和等于180的核心是什,新知探究,知识要点,在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线,.,在平面几何里，辅助线通常画成虚线,.,思路总结,为了,证明三个角的和为,180,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法,.,作辅助线,新知探究知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的,CED=90，,会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180.,所以ABE=180-BAD=180-80,即ADE是直角三角形.,在CDF中，CFD60，FCD80，,又1+2+ACB=180，,在AEF中，FEA90，A30，,二、三角形的内角和定理的运用,CD是ABC的高，ADC90，,AFE180FEAA60.,PBC+PCB+BPC=180，,CED=B=78,B=1.,A+AED=180,证法1：过点A作lBC，,解：在RtACE中，,解：DEAB，FEA90,DFB+BFC=180，,答：A，B，C的度数分别为99，33，48.,从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？,3x x(x 15)180.,2+A=90.,新知探究,例,1,如图，在,ABC,中，,BAC,=40,B,=75,AD,是,ABC,的角平分线，求,ADB,的度数,.,A,B,C,D,解：由,BAC,=40,AD,是,ABC,的角平分线，得,BAD,=,BAC,=20.,在,ABD,中，,ADB,=180-,B,-,BAD,=180-75-20,=85.,二、三角形,的内角和定理的运用,CED=90，新知探究例1 如图，在ABC中，,新知探究,【,变式题,】,如图，,CD,是,ACB,的平分线，,DE,BC,，,A,50,，,B,70,，,求,EDC,，,BDC,的度数,解：,A,50,，,B,70,，,ACB,180,A,B,60.,CD,是,ACB,的平分线，,BCD,ACB,30.,DE,BC,，,EDC,BCD,30,，,在,BDC,中，,BDC,180,B,BCD=,80.,新知探究【变式题】如图，CD是ACB的平分线，DEBC，,新知探究,例,2,如图，在,ABC,中，,D,在,BC,的延长线上，过,D,作,DE,AB,于,E,，交,AC,于,F,.,已知,A,30,，,FCD,80,，求,D,.,解：,DE,AB,，,FEA,90,在,AEF,中，,FEA,90,，,A,30,，,AFE,180,FEA,A,60.,又,CFD,AFE,，,CFD,60.,在,CDF,中，,CFD,60,，,FCD,80,，,D,180,CFD,FCD,40.,新知探究例2 如图，在ABC中，D在BC的延长线上，过D,新知探究,基本图形,由三角形的内角和定理易得,A,+,B,=,C,+,D.,由三角形的内角和定理易得,1+2=,3+,4.,总结归纳,4,新知探究基本图形由三角形的内角和定理易得A+B=C+,新知探究,例,3,在,ABC,中，,A,的度数是,B,的度数的,3,倍，,C,比,B,大,15,，求,A,，,B,，,C,的度数,.,解,:,设,B,为,x,，则,A,为,(3,x,),，,C,为,(,x,15),，从而有,3,x,x,(,x,15),180.,解得,x,33.,所以,3,x,99,，,x,15,48.,答：,A,，,B,，,C,的度数分别为,99,，,33,，,48,.,几何问题借助方程来解,.,这是一个重要的数学思想,.,新知探究例3 在ABC 中，A 的度数是B 的度数的,新知探究,【,变式题,】,在,ABC,中，,A,B,ACB,，,CD,是,ABC,的高，,CE,是,ACB,的平分线，求,DCE,的度数,解析：根据已知条件用,A,表示出,B,和,ACB,，利用三角形的内角和,求,出,A,，再求出,ACB,，,ACD,，最后根据角平分线的定义求出,ACE,，,即,可求得,DCE,的度数,比例关系,可考虑,用方程思想求角度,.,新知探究【变式题】在ABC中，A B A,新知探究,解：,A,B,ACB,，,设,A,x,，,B,2,x,，,ACB,3,x,.,A,B,ACB,180,，,x,2,x,3,x,180,，得,x,30,，,A,30,，,ACB,90.,CD,是,ABC,的高，,ADC,90,，,ACD,180,90,30,60.,CE,是,ACB,的平分线，,ACE,90,45,，,DCE,ACD,ACE,60,45,15.,新知探究解：A B ACB，,新知探究,在,ABC,中，,A,:,B,:,C,=1:2:3,，则,ABC,是,_,三角形,.,练一练：,在,ABC,中，,A,=35,，,B,=43,，则,C,=,.,在,ABC,中，,A,=,B,+10,C,=,A,+10,则,A,=,，,B,=,，,C,=,.,102,直角,60,50,70,新知探究在ABC中，A:B:C=1:2:3，则,新知探究,北,.,A,D,北,.,C,B,.,东,E,例,4,如图，,C,岛在,A,岛的北偏东,50,方向，,B,岛在,A,岛的北偏东,80,方向，,C,岛在,B,岛的北偏西,40,方向,.,从,B,岛看,A,C,两岛的视角,ABC,是多少度？从,C,岛看,A,，,B,两岛的视角,ACB,是多少度？,三角形的内角和定理也常常用在实际问题中,.,新知探究北.A北.CB.东E例4 如图，C岛在A岛的北偏,新知探究,解：,CAB,=,BAD,-,CAD,=80-50=30.,由,AD,/,BE,得,BAD,+,ABE,=180.,所以,ABE,=180-,BAD,=180-80,=100,ABC,=,ABE,-,EBC,=100,-40=60.,在,ABC,中,，,ACB,=180-,ABC,-,CAB,=180-60-30=90.,答：从,B,岛看,A,C,两岛的视角,ABC,是,60,从,C,岛看,A,B,两岛的视角,ACB,是,90.,北,.,A,D,北,.,C,B,.,东,E,新知探究解：CAB=BAD-CAD=80-5,新知探究,【,变式题,】,如图，,B,岛在,A,岛的南偏西,40,方向，,C,岛在,A,岛的南偏东,15,方向，,C,岛在,B,岛的北偏东,80,方向，求从,C,岛看,A,，,B,两岛的视角,ACB,的度数,.,解：如图，,由,题意得,BE,AD,BAD,=40,，,CAD,=15,，,EBC,=80,，,EBA,=,BAD,=40,，,BAC,=40+15=55,CBA,=,EBC-,EBA,=80-40=40,，,ACB,=180-,BAC,-,ABC,=,180-55-40=85,D,E,新知探究【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40方向，C岛在,新知探究,问题,1,：,如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度,?,30,+60,=,90,45,+45,=,90,问题引导,三、直角三角形,的两个锐角互余,新知探究问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之,新知探究,问题,2,：,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,两锐角的和等于多少呢？,在,Rt,ABC,中，因为,C,=90,，,由三角形内角和定理,，,得,A,+,B,+,C,=90,即,A,+,B,=90,.,思考：,由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？,新知探究问题2：如图，在RtABC中，C=90，两锐,新知探究,A,B,C,直角三角形的两个锐角互余,应用格式：,在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,A,+,B,=90,直角三角形的表示：,直角三角形可以用符号“,Rt,”,表示，直角三角形,ABC,可以写成,Rt,ABC,总结归纳,新知探究ABC直角三角形的两个锐角互余应用格式：直角三,新知探究,方法一（利用平行的判定和性质）：,B,=,C,=90，,AB,CD,，,A,=,D,.,方法二（利用直角三角形的性质）：,B,=,C,=90，,A,+,AOB,=90，,D,+,COD,=90,.,AOB,=,COD，,A,=,D,.,例,1,（,1,）如图,，,B,=,C,=90,，,AD,交,BC,于点,O,，,A,与,D,有什么关系？,图,典例精析,新知探究方法一（利用平行的判定和性质）：例1（1）如图，,新知探究,解：,A,=,C.,理由如下：,B,=,D,=90，,A,+,AOB,=90，,C,+,COD,=90,.,AOB,=,COD，,A,=,C.,（,2,）如图,，,B,=