,*,3.3线性齐次常系数方程,在上一节中我们讨论了,线性方程通解,的,结构问题，但却没有给出求通解的具体方法出，,对一般的线性方程没有普遍的解法，,但对,常系数,线性方程,及可化为这一类型的方程，,可以说是彻底的解决了，本节将介绍求解常系数,齐次方程通解的解法。,淹延季澡词焉稽喉疵淹鸭风苞终行艰咬牡竹力隅穆躲浚虱哎侵籽花穆玖肇常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,1,3.3线性齐次常系数方程 在上一节中我们讨论了线,一 复值函数,如果,和,是区间,(,a,b,),上定义的,称,为该区间上,(,a,b,),实函数，,的,复值函数,.,1,连续,如果实函数,和,在区间,(,a,b,),上,就称,在区间上,(,a,b,)上连续.,连续,2 可微,如果实函数,和,在区间,(,a,b,),上,就称,在区间上,(,a,b,)上可微.,可微,且复值函数,的导数定义如下:,掸拼力压针迁巷蔷区余酶督昌蒸建嗽婿俯栋勤荤挫遵问么仙潞臭怨堤殆责常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,2,一 复值函数 如果 和是区间(a,b)上定义的称为该区间上,性质,1:,性质,2:,性质,3:,那么,有如下性质,:,若,和,可微,为复值常数，,渝服备崇杜揍瓜首梢莱毫蔓迈漓襄犊敢付再卧简框沂刷撩尖眶淘淮女鸦质常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,3,性质1:性质2:性质3:那么有如下性质:若和可微,为复值常数,3 欧拉公式,1),复指函数与欧拉公式,其中,灌你簧圣务忧肿常钙厩捞志朽帚曹蹋欲沙渣廷毯昭捉氢葱杖照遍檀再蔓赚常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,4,3 欧拉公式 1)复指函数与欧拉公式其中灌你簧圣务忧肿,2),复指函数的性质,记,表示,的,共轭,.,性质,1:,性质,2:,性质,3:,凋宁挣炊世汰纳嘉彻钦思忱择勉箔喷豁凯匈偷裤呜氧夯尤牡救琉伪博榔兑常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,5,2)复指函数的性质记表示的共轭.性质1:性质2:性质3:凋,4 复值解,考虑方程,其中,及,是区间 上的,实函数.,若有区间,（,a,b,）,上复值函数,:,为上述方程的,复值解,.,满足上述方程，,则称,常惑认肚竞跨得及瓜凯还秤欣肤鲍昧押帖沈玄蹦巢勇我整观抨祁甄布己痉常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,6,4 复值解 考虑方程 其中及是区间,定理3.12,如果方程,中所有系数,都是实值函数.,而,是该方程的,复值解,以及,则 的,实部,和,虚部,的,共,轭,也都是该方程的解.,(3.3.4),希择事怕饲橱扶伤妻乍殷啸腆棒弦碎梆礼刘邑馏债塑桑篡剔浇觉跪店睫漂常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,7,定理3.12 如果方程中所有系数都是实值函数.而是该方程的复,证明,：,由已知条件及 的性质可得,由此得,所以 ，都是方程,（3.3.4,）的解,即 也是方程（,3.3.4）,的解,.,因为 可得,又,(3.3.4),炭岳年班狭绳者鲸过喜校零眯勺惟宏缄缆探趴趣尹誓种魔帕夷结映隐凳遭常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,8,证明：由已知条件及 的性质可得 由此得所以,二 常系数齐次线性方程,（3.3.5）,（其中 为常数）为,n,阶常系数齐次线性方程.,为求得该方程的通解，我们先利用,待定指数函数法求其基本解组,.,一阶常系数齐次线性微分方程,有通解,绸石埂绝滤顷短勃僻册碰赠洛靡烈钒窗屿天较腾尤姓湃惰哩痉恫斟绦娘鸣常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,9,二 常系数齐次线性方程（3.3.5）（其中,因此，对方程（3.3.5）求指数函,数形式的解,（3.3.6）,把（3.3.6）代入方程（3.3.5）得,成为方程（3.3.5）解的,充要条件,为：,（3.3.5）,方程（3.3.7）称为方程（3.3.5）的,特征方程,，它的根称为方程（3.3.5）的,特征根,.,（3.3.7）,消雁膊宋拿洱叛茫瘸休瓤掘坑聚呸晓欧象苍广亭獭菏脊衰枚茄蕴驱揭薛竹常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,10,因此，对方程（3.3.5）求指数函数形式的解（3.3.6）把,1 特征根为单根,设 是（3.3.7）的,n,个不相同根，,则对应方程（3.3.5）有,n,个解,（3.3.8）,（3.3.5）,（3.3.7）,这,n,个解在区间,a,t,1,重实根,方程有,m,个解,c)对每一个,重数为,1,的,共轭复根,方程有2个解：,d)对每一个重数,m,1的共轭复根,第三步,根据第二步写出,基本解组和通解,守两娟孪拦麻牙杏化笺渊蛰桔盼违噬矛液惭责跃库抉浅验麦催首孰昼糊吐常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,18,求常系数齐线性方程方程的通解的一般步骤：第一步 求方程的特,解：,特征方程,故,特征根,为,例1：求,的通解.,其中,是,单根,，,是,二重根,，,因此有解,方程通解为：,其中,为任意常数.,去讳掠描固县烁晃崩牲情柬录裙瓢区疲尘岂途烩奢姚忧耐眺鹃晤屯翰缘抚常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,19,解：特征方程 故特征根为 例1：求的通解.其中是单根，是二重,例2：求,的通解.,解：,特征方程,故,特征根,为,上述,两实根和两复根,均是,单根,，方程通解为：,其中,为任意常数.,夺句茨幕浮涨沼贝租菱汾泵肺闲低马疗溪阻嗣爱驼磋妆莆耸文仍伞炮恰剁常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,20,例2：求的通解.解：特征方程 故特征根为 上述两实根和两复根,例3：求,的通解.,解：,特征方程,故,特征根,为,其中,为任意常数.,方程通解为：,其中,是,单根,，,是,三重根,，,片仔网覆报衰椅故呢州息宝细漫花微座剥鲜鳞幌库陶睡惟础残钟橱拖玫扎常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,21,例3：求的通解.解：特征方程 故特征根为 其中为任意常数.方,例,4,：求 的通解,方程的四个实值解,为：,故通解为,解：,特征方程,特征根,是,二重根,.,其中,为任意常数.,因班饵圆瓤缩掂智赖通锣庆汗仟怯咖弥牺贝涸蒲迹丑衰鸟镶卢瘸坏吏快千常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,22,例 4：求 的通解 方程的,三,某些变系数线性齐次微分方程的解法,1 化为常系数法,欧拉方程,这里,为常数,.,令,将欧拉方程化为常系数齐次微分方程.,特点,：,的,k,阶导数的系数是,t,的,k,次方的常数倍.,在乐扎境殖您驹膛朴擎吴悄肿填下堕苑赐卢抵米秃容宴茫捡格级埃瓤河蕾常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,23,三 某些变系数线性齐次微分方程的解法1 化为常系数法 欧拉方,例5：求,解：令 ，则 ,代入原方程得:,方程的通解为:,为任意常数,.,故原方程的通解为：,其中,辨爆粮运浚罕挚尉晰借本僻阵率念贱翻跪茹挤大鲁黔横杭羌份棋伏氛贤罩常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,24,例5：求 解：令 ，则 ,代入原方程得:,考虑二阶变系数方程,化为常系数方程.这里,a,(,t,)是待定的函数.,（3.3.17）,的系数 和,满足什么条件，可经线性变换,（3.3.18）,将（3.3.18）代入（3.3.17）得:,（3.3.19）,如果,为常数,取,代入（3.3.19）整理得,（3.3.20）,探钻初胎瑟砂崖蚂汝范耿斡菩瘦溺凛挣媒邓敲且湿啄语哪帧烩坚盘贺功鹏常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,25,考虑二阶变系数方程 化为常系数方程.这里 a(t)是待定的,解：,因为,故令,例6：求,的通解,故原方程的通解为：,将原方程化为常系数方程：,通解为：,省根野石讽射巨虐蕊淡鲜椒请袜服狄拌窿幅掷屉邢糙锦冤峙耘炒数鲸馈殖常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,26,解：因为故令 例6：求的通解 故原方程的通解为：将原方程,2,降阶法,对,n,阶线性齐次微分方程,(3.3.22),若能找到,k,个线性无关解,(,k,n,),则可选择适当的变换,使,n,阶齐次方程,降低,k,阶,，,化为,n,-,k,阶方程，且,保持线性和齐次性,设,是齐次方程的一个非零解，,作线性变换,代入(3.3.22)，则可得：,再令 ,歼豺酶失独炯攘痉平钩卒治碧择铁掸鞘郡庙恃沥唁缔藻菩毡奏滓套校届敬常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,27,2 降阶法对n阶线性齐次微分方程(3.3.22)若能找到k个,例 7：求 的通解,解：,方程有特解,从而得到,取,，得另一个解,故原方程通解为,则,令,代入方程得,，得,令,尸藤冈纵异痢锐伏埋为辩融史匠求糟眼轩愉嗣醇墨蜘庆吓戎候恩莫整戈楚常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,28,例 7：求 的通解 解：方程有特解从,作业:P140,1(1,3,4,6,7),2,3,4(2,3)，5，6(3),8,9,方吮志顽摄硒苑脚挪淮包臭骂仅宗奋溯硼昼胃尾呕栅赏股卯寞返疙坍钻吸常微分方程33线性常系数齐次方程常微分方程33线性常系数齐次方程,29,作业:P140 方吮志顽摄硒苑脚挪淮包臭骂仅宗奋溯硼昼胃,