单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一章 行列式,1.1,行列式的定义,1.2,行列式的性质与计算,1.3,克拉默法则,公共邮箱：xxds_,密 码：111111,11/15/2024,1,第一章 行列式1.1 行列式的定义1.2 行列式的性质与,第一次课,1.2,行列式的性质与计算,(一),1.1,行列式的定义,会计算二阶与三阶行列式,掌握,n,阶行列式的定义,掌握三角形特殊行列式,掌握行列式的性质,熟练运用行列式的性质计算行列式,教学内容,教学目标及基本要求,11/15/2024,2,第一次课1.2 行列式的性质与计算(一)1.1 行列式的,利用“,对角线法则,”计算二、三阶行列式,熟记“,特殊行列式,”的结论,利用性质化归特殊行列式,重 点,难 点,n,阶行列式的定义,利用性质化归特殊行列式,11/15/2024,3,利用“对角线法则”计算二、三阶行列式重 点难 点n阶行列,1.1 行列式的定义,一、二、三阶行列式,Determinant,主对角线,负对角线,main diagonal,11/15/2024,4,1.1 行列式的定义一、二、三阶行列式Determinan,其中,D,j,为右端常数项替换,D,中的第,j,列而构成的行列式,系数行列式,Determinant of coefficient matrix,11/15/2024,5,其中Dj为右端常数项替换D中的第j列而构成的行列式系数行列式,2、,三元线性方程组,三阶行列式,对角线法则,11/15/2024,6,2、三元线性方程组三阶行列式对角线法则10/9/20236,同理,当,D,0,时，方程组也有唯一解：,其中,D,j,为右端常数项替换,D,中的第,j,列而构成的行列式,11/15/2024,7,同理当D0时，方程组也有唯一解：其中Dj为右端常数项替换D,求解方程组,例,1,解,11/15/2024,8,求解方程组例1解10/9/20238,同理，可求得：,所以，,11/15/2024,9,同理，可求得：所以，10/9/20239,二、,n,阶行列式的定义,(P5),Cofactor,Algebraic cofactor,11/15/2024,10,二、n阶行列式的定义(P5)CofactorAlgebrai,1,阶行列式：,注意与绝对值的区别,2,阶行列式：,某行,(列),元素与其对应的代数余子式的乘积之和,11/15/2024,11,1阶行列式：注意与绝对值的区别2阶行列式：某行(列)元素与其,3,阶行列式：,某行,(列),元素与其对应的代数余子式的乘积之和,11/15/2024,12,3阶行列式：某行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和10,(P6,定义,1.1.1),例,1,计算,3,阶行列式,说明：,应尽量选择含,0,多的行,(或列),来展开,11/15/2024,13,(P6定义1.1.1)例1计算3阶行列式说明：应尽量选择含0,三、,特殊,行列式,主对角型,:主对角型（简记为）,11/15/2024,14,三、特殊行列式主对角型:主对角型（简记为）10/9/2023,负对角型,:负对角型（简记为）,11/15/2024,15,负对角型:负对角型（简记为）10/9/202315,1.2 行列式的性质与计算,一、行列式的性质,(P9,定义,1.2.1),Determinant of transpose matrix,11/15/2024,16,1.2 行列式的性质与计算一、行列式的性质(P9定义1.2,性质,1,：转置不变性,性质,2,：提取公因子,推论:,若行列式有一行(列)元素全是,0,则该行列式等于,0,.,说明：行列式中行与列的地位相同,(P9性质1.2.1),(P10性质1.2.4),记作：,11/15/2024,17,性质1：转置不变性性质2：提取公因子推论:若行列式有一行(列,（,key,：,4,abcdef,）,例,1,(P24习题1-T2-(3),11/15/2024,18,（key：4abcdef）例1(P24习题1-T2-(3),复习,二阶行列式,三阶行列式,对角线法则,11/15/2024,19,复习二阶行列式三阶行列式对角线法则10/9/202319,展开定理,某行,(列),元素与其对应的代数余子式的乘积之和,特殊行列式,:主对角型,:负对角型,注意：,应选择含0多的行(列)来进行展开,11/15/2024,20,展开定理某行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和,性质,3,：拆加性,若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则原行列式等于相应的两个行列式的和。,性质,3,可推广到一行(列)元素都是,m,个元素之和的情形.,(P10,性质,1.2.5),11/15/2024,21,性质3：拆加性若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则原,例,2,（,key,：,）,化简行列式,11/15/2024,22,例2（key：,性质,4,：互换反号性,互换行列式的两行（列），行列式改变符号。,推论,1,:,若行列式的,两,行(列),相同,，则,行列式为,0,.,推论,2,:,若行列式的,两,行(列),成比例,，则,行列式为,0,.,(P10,性质,1.2.3),记作：,11/15/2024,23,性质4：互换反号性互换行列式的两行（列），行列式改变符号。,性质,5,：倍加不变性,将行列式的某,行(列),k,倍加到另一,行(列),上，行列式的值不变。,(P11,性质,1.2.6),记作：,11/15/2024,24,性质5：倍加不变性将行列式的某行(列)k倍加到另一行(列)上,例,1,二、行列式的计算,方法一：利用性质化归特殊行列式,(P12,例,1.2.1),11/15/2024,25,例1二、行列式的计算方法一：利用性质化归特殊行列式(P12例,例,2,各行（列）元素之和为常数,11/15/2024,26,例2各行（列）元素之和为常数10/9/202326,例,3,“箭型”行列式,11/15/2024,27,例3“箭型”行列式10/9/202327,例,4,计算,n,阶行列式,方法二：利用展开定理(降阶的思想),11/15/2024,28,例4计算n阶行列式方法二：利用展开定理(降阶的思想)10/9,思考题,11/15/2024,29,思考题10/9/202329,例,4,1、,“范德蒙德(,Vandermonde,)”行列式,用数学归纳法证,升幂排列,(P12,例,1.2.4),方法三：利用重要结论,11/15/2024,30,例41、“范德蒙德(Vandermonde)”行列式用数学归,例,5,(,key,：),11/15/2024,31,例5(key：)10/9/202331,2、,拉普拉斯,(,Laplace,),展开定理,(P18),例,6,11/15/2024,32,2、拉普拉斯(Laplace)展开定理(P18)例610/9,例,7,11/15/2024,33,例710/9/202333,定理,不零,例,6,(P17,例,1.2.6),(P16定理1.2.1),(,key,：,m,=-4，,k,=-2),11/15/2024,34,定理不零例6(P17例1.2.6)(P16定理1.2.1)(,二阶、三阶行列式的“,对角线法则,”,行列式的性质,:,:提取公因子,:互换反号性,:倍加不变性,:拆加性,:某行,(,列,),元素全为零、相同、对应成比例,则行列式等于零,小 结,11/15/2024,35,二阶、三阶行列式的“对角线法则”行列式的性质:提取公因子:,展开定理,某行,(列),元素与其对应的代数余子式的乘积之和,特殊行列式,:主对角型,:负对角型,注意：,应选择含0多的行(列)来进行展开,11/15/2024,36,展开定理某行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积,:范德蒙德行列式,11/15/2024,37,:范德蒙德行列式10/9/202337,:拉普拉斯展开定理,1):,2):,11/15/2024,38,:拉普拉斯展开定理1):2):10/9/202338,提前预习,1.3,克拉默法则,作 业,习题1(,A,)：,11/15/2024,39,提前预习1.3 克拉默法则作 业习题1(A)：10/9/,