,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,马尔科夫预测法,拇向舰奄僵喜菌源歧纵抵坯散订既众煤狄标募几令四砧伶镇党螟鼠箍溢击马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,第一节 基本原理,一、基本概念,1.,随机变量、随机函数与随机过程,一变量,x,，能随机地取数据（但不能准确地预言它取何值），而对于每一个数值或某一个范围内的值有一定的概率，那么称,x,为随机变量。,假定随机变量的可能值,x,i,发生概率为,P,i,即,P(,x,=,x,i,)=P,i,对于,x,i,的所有,n,个可能值，有离散型随机变量分布列：,P,i,=1,对于连续型随机变量，有,P(x)dx=1,蛋霜信蛾贯觉淬腹称勺茅陆未爷懦琳忠擞孙咋飘伤匈宣庶固粹沥四节泞工马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,在试验过程中，随机变量可能随某一参数（不一定是时间）的变化而变化,.,如测量大气中空气温度变化,x=x(h),随高度变化。这种随参变量而变化的随机变量称为随机函数。而以时间,t,作参变量的随机函数称为随机过程。,也就是说：随机过程是这样一个函数，在每次试验结果中，它以一定的概率取某一个确定的，但预先未知的时间函数。,印兽超惺韭舵阅警毁续题柑佣虎疚涡萌山桓媚与房彻揉俱驹蕉植洗务央臭马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,2,、马尔科夫过程,随机过程中，有一类具有“无后效性性质”，即当随机过程在某一时刻,to,所处的状态已知的条件下，过程在时刻,tto,时所处的状态只和,to,时刻有关，而与,to,以前的状态无关，则这种随机过程称为马尔科夫过程。,即是：,i,to,为确知,i,t,(tto),只与,i,to,有关，这种性质为无后效性，又叫马尔科夫假设。,喉召搬乒磷奥垄帽眶米贮梁侈丫睦旁再浮实拯傈耙栓青盈杠倪埠具拿夜潍马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,简例：设,x(t),为大米在粮仓中,t,月末的库存量，则,x(t)=x(t,1)y(t)+G(t),t,月的转出量,第,t,1,月末库存量,G(t),为当月转入量,x(t),可看作一个马尔科夫过程。,鸣例锌陵黔用彭抡饰红君余幢督渗后腆屠偷傣奢逞见灾你拐朔孜插逸董哆马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,3,、马尔科夫链,时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。例：蛙跳问题,假定池中有,N,张荷叶，编号为,1,，,2,，,3,N,，即蛙跳可能有,N,个状态（状态确知且离散）。,青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）,蔡榴型谋昭二主洽帛懒呆狈砒伞套串隔碌慑疑圣恕莽妓澄尖亚鞍链紧研旅马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,1,2,3,4,P,33,P,22,P,44,P,41,P,42,P,31,P,32,浚熄撩坷积帅罚翁缺远荷检泳仙傈钳强忍欢颁雏狂网智榴恨欠雏妄翻躯湛马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,写成数学表达式为：,P(x,t+1,=j|x,t,=i,t,x,t-1,=,i,t,1,x,1,=i,1,),=P(x,t+1,=j|x,t,=i,t,),定义：,P,ij,=P(x,t+1,=j|x,t,=i),即在,x,t,=i,的条件下，使,x,t+1,=j,的条件概率，是从,i,状态一步转移到,j,状态的,概率,，因此它又称一步状态转移概率。,由状态转移图，由于共有,N,个状态，所以有,坑皿兰放洞稻笔产久仔锁评馆徒濒淡抱虏俩桩梭媚搓曰远洗啄商织砷企交马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,二状态转移矩阵,1.,一步状态转移矩阵,系统有,N,个状态，描述各种状态下向其他状态转移的概率矩阵,P,11,P,12,P,1N,定义为,P,21,P,22,P,2N,:,P,N1,P,N2,P,NN,这是一个,N,阶方阵，满足概率矩阵性质,1,）,P,ij,0,i,j=1,2,N,非负性性质,2,）,P,ij,=,1,行元素和为,1,i=1,2,N,NN,P=,猖稽罪墓匡翌敛杆趟宽戴弟窿讣恋庆糯棘您唬萄询彭瓣粘搏糜懂艳琵识携马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,如：,W,1,=1/4,1/4,1/2,0,W,2,=1/3,0,2/3,W,3,=1/4,1/4,1/4,1/2,W,4,=1/3,1/3,-1/3,0,2/3,3,）若,A,和,B,分别为概率矩阵时，则,AB,为概率矩阵。,概率向量,非概率向量,攻欢营臻睹池楚驰质痉锻件悲吼澜鞠酸韵碾语够肢磷柴器暗易族碳峰血抉马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,2.,稳定性假设,若系统的一步状态转移概率不随时间变化，即转移矩阵在各个时刻都相同，称该系统是稳定的。,这个假设称为稳定性假设。,蛙跳问题属于此类，后面的讨论均假定满足稳定性条件。,2004/11/22,百郧池潮蒲罪拇扑橙合划泉坍畏劝爱摘达兽锡叙事签寡玩汕疡乞阻贴序桥马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,3.k,步状态转移矩阵,经过,k,步转移由状态,i,转移到状态,j,的概率记为,P(,x,t+k,=j|,x,t,=i)=P,ij,(k),i,j=1,2,N,定义：,k,步状态转移矩阵为：,P,11,(k),P,12,(k),P,1N,(k),P =:,P,N1,(k),P,N2,(k),P,NN,(k),当系统满足稳定性假设时,P =P=P P,P,其中,P,为一步状态转移矩阵。,即当系统满足稳定性假设时，,k,步状态转移矩阵为一步状态转移矩阵的,k,次,方,.,k,k,k,酿稚村鲜杉耸鹿馁庸尿刨姬欧因疹耳夯益殿俐直斡番夸华闭俱氧鹏玉姻庙马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,例：设系统状态为,N=3,，求从状态,1,转移到状态,2,的,二步状态转移概率,.,解：作状态转移图,解法一：由状态转移图：,1 1 2:P,11,P,12,1 2 2:P,12,P,22,1 3 2:P,13,P,32,P,12,=P,11,P,12,+P,12,P,22,+P,13,P,32,=,P,1i,P,i2,1,3,2,P,13,P,32,P,11,P,12,P,12,P,22,典凡狸篓蜒悦殃尤循丘腺日龙阜照单塌捞沾夹牲甜形茬巴版嫁币篡退贫祷马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,解法二：,k=2,N=3,P,11,(2)P,12,(2)P,13,(2),P=P,21,(2)P,22,(2)P,23,(2),P,31,(2)P,32,(2)P,33,(2),P,11,P,12,P,13,P,11,P,12,P,13,=PP=P,21,P,22,P,23,P,21,P,22,P,23,P,31,P,32,P,33,P,31,P,32,P,33,得：,P,12(2),=P,11,P,12,+P,12,P,22,+P,13,P,32,=,P,1i,P,i2,狂唆救密楔疙予望犹顾排停泽骄买掌猩蛮喜控澳苑炼陕娱偏走威缔窒嘲耳马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,例：味精销售问题,已连续统计六年共,24,个季度，确定畅销，滞销界限，即只允许出现两种状态，且具备无后效性。,设状态,1,为畅销，状态,2,为滞销,作出状态转移图,:,图中,:P,11,为当前畅销，连续畅销概率；,P,12,为当前畅销，转滞销概率；,P,22,为当前滞销，连续滞销概率；,P,21,为当前滞销，转畅销概率。,1,2,P,22,P,11,P,12,P,21,殿兹检垛齿帘孟轻裹菱碱楷颂挟隔蔑耕弛钩波闰甭褐妮不韩屯煽莉勿祝贸马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,数据在确定盈亏量化界限后的统计表如下：,t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13,状态,t 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24,状态,进行概率计算时，第二十四个季度为畅销，但后续是什么状态不知，故计算时不能采用，只用于第二十三季度统计。,有：,P,11,=7/(7+7)=0.5;,P,12,=7/(7+7)=0.5;,P,21,=7/(7+2)=0.78;,P,22,=2/(7+2)=0.22,则,0.5 0.5,0.78 0.22,此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性各占一半,若本季度滞销，则下季度滞销有,78%,的把握，滞销风险,22%,P=,第盅俐沥月呈啸椰瞻厨膳存艰纺链匙匡杠恰恭训访看哪踪灶照畦亩篙楔蠕马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,二步状态转移矩阵为：,0.5 0.5 0.5 0.5,0.78 0.22 0.78 0.22,0.64 0.36,0.5616 0.4384,P,11,(2)P,11,(2),P,11,(2),P,11,(2),=,=,P=P=,2,2,恍颤逊砒眨橙稿惊轨宽还深核得匈鸿韧瞅对喷袋喻庐脐要傀穗愧叶伺疮道马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,三,.,稳态概率：,用于解决长期趋势预测问题。,即：当转移步数的不断增加时，转移概率矩阵,P,的变化趋势。,1.,正规概率矩阵。,定义：若一个概率矩阵,P,，存在着某一个正整数,m,使,P,的所有元素均为正数（,P,ij,o,），则该矩阵称为正规概率矩阵,k,卫绣上这很炭惧经恿拟腹差波傍爷声颜冬筋的垛挺畅森艺描噬葱糊收芒熏马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,例：,1/2 1/4 1/4,P=1/3 1/3 1/3,为正规概率矩阵,2/5 1/5 2/5,0 1 P,11,=0,1/2 1/2,但当,m=2,，有 有,P,ij,0,它也是正规概率矩阵。,（,P,每个元素均为正数）,但,1 0,0 1,就找不到一个正数,m,使,P,的每一个元素均大于,0,，所以它不是正规概率矩阵。,P =,2,2,P=,m,P=,2,蛊述秩沮妓哦奸蓬速此潞肪爹以螺讣镍幌枝活拘枷椎嗅旁闺咎迭噶微旗颠马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,2.,固定概率向量（特征概率向量）,设,P,为,NN,概率矩阵,若,U=U,1,U,2,U,N,为概率向量,且满足,UP=U,称,U,为,P,的固定概率向量,例,0 1,1/2 1/2,为概率矩阵,P,的固定概率向量,U=1/3 ,2/3,检验,UP=1/3 2/3 0 1,1/2 1/2,=1/3 2/3,P=,垢棠盲役蓟滁帚槛蛋镑郎栅暇悔换涸巨虹娜沸售莽颈跋别悠隙红会遣凸饥马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页马尔科夫预测法,-,期望利润预测,45,页,3.,正规概率矩阵的性质,定理一 设,P,为,NXN,正规概率矩阵，则,A.P,有且只有一个固定概率向量,U=U,1,U,2,U,N,且,U,的所有元素均为正数,U,i,0,B.NXN,方阵,P,的各次方组成序列,P,P,P,P,趋于方阵,T,，且,T,的每一个行向量都是固定概率向量,U,。,即,U,1,U,2,U,N,U,lim P,k,=T=:=:,U,1,U,2,U,N,U,这个方阵,T,称稳态概率矩阵。,2,3,k,痹冉琳楞中龟阵授浑撬礼同克骂选稳惶表配碧涟良姿胰包愈鼠缺行轧醋欲马尔科夫预测