,2.3.1,平面向量基本定理,第二章,2.3,平面向量的基本定理及坐标表示,2.3.1平面向量基本定理第二章2.3平面向量的基本,学习目标,1.,理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义,.,2.,在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量,.,3.,会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题,.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,题型探究问题导学内容索引当堂训练,问题导学,问题导学,知识点一平面向量基本定理,思考,1,如果,e,1,，,e,2,是两个不共线的确定向量，那么与,e,1,，,e,2,在同一平面内的任一向量,a,能否用,e,1,，,e,2,表示？依据是什么？,答案,能,.,依据是数乘向量和平行四边形法则,.,答案,思考,2,如果,e,1,，,e,2,是共线向量，那么向量,a,能否用,e,1,，,e,2,表示？为什么？,答案,不一定，当,a,与,e,1,共线时可以表示，否则不能表示,.,知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的,梳理,(1),平面向量基本定理：如果,e,1,，,e,2,是同一平面内的两个,向量，那么对于这一平面内的,向量,a,，,实数,1,，,2,，使,a,1,e,1,2,e,2,.,(2),基底：,的向量,e,1,，,e,2,叫做表示这一平面内,向量的一组基底,.,不共线,任意,有且只有一对,不共线,所有,梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个,思考,1,知识点二两向量的夹角与垂直,平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？,答案,答案,存在夹角，不一样,.,思考1知识点二两向量的夹角与垂直平面中的任意两个向量都可以,思考,2,ABC,为等边三角形，,ABC,60,，,则,CBD,120,，故向量,a,与,b,的夹角为,120.,答案,思考2ABC为等边三角形，ABC60，答案,梳理,当,0,时，,a,与,b,；当,180,时，,a,与,b,.,(2),垂直：如果,a,与,b,的夹角是,90,，则称,a,与,b,垂直，记作,a,b,.,非零向量,AOB,反向,同向,梳理当0时，a与b ；当180,题型探究,题型探究,类型一对基底概念的理解,例,1,如果,e,1,，,e,2,是平面,内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是,e,1,e,2,(,，,R,),可以表示平面,内的所有向量；,对于平面,内任一向量,a,，使,a,e,1,e,2,的实数对,(,，,),有无穷多个；,若向量,1,e,1,1,e,2,与,2,e,1,2,e,2,共线，则有且只有一个实数,，使得,1,e,1,1,e,2,(,2,e,1,2,e,2,),；,若存在实数,，,使得,e,1,e,2,0,，则,0.,A.,B.,C.,D.,答案,解析,类型一对基底概念的理解例1如果e1，e2是平面内两个不,解析,由平面向量基本定理可知，,是正确的；,对于,，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；,对于,，当两向量的系数均为零，即,1,2,1,2,0,时，这样的,有无数个，故选,B.,解析由平面向量基本定理可知，是正确的；,反思与感悟,考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线,.,此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来,.,反思与感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且,答案,解析,跟踪训练,1,若,e,1,，,e,2,是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是,A.,e,1,e,2,，,e,2,e,1,B.2,e,1,e,2,，,e,1,e,2,C.2,e,2,3,e,1,，,6,e,1,4,e,2,D.,e,1,e,2,，,e,1,e,2,答案解析跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四,解析,选项,A,中，两个向量为相反向量，即,e,1,e,2,(,e,2,e,1,),，则,e,1,e,2,，,e,2,e,1,为共线向量；,选项,B,中，,2,e,1,e,2,2(,e,1,e,2,),，也为共线向量；,选项,C,中，,6,e,1,4,e,2,2(2,e,2,3,e,1,),，为共线向量,.,根据不共线的向量可以作为基底，只有选项,D,符合,.,解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1e2(e2,类型二向量的夹角,解答,例,2,已知,|,a,|,|,b,|,2,，且,a,与,b,的夹角为,60,，设,a,b,与,a,的夹角为,，,a,b,与,a,的夹角是,，求,.,类型二向量的夹角解答例2已知|a|b|2，且a与b,以,OA,、,OB,为邻边作,OACB,，,因为,|,a,|,|,b,|,2,，所以,OAB,为正三角形，,所以,OAB,60,ABC,，,即,a,b,与,a,的夹角,60.,因为,|,a,|,|,b,|,，所以平行四边形,OACB,为菱形，,所以,OC,AB,，所以,COA,90,60,30,，,即,a,b,与,a,的夹角,30,，所以,90.,以OA、OB为邻边作OACB，因为|a|b|2，所以,反思与感悟,(1),求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照,“,一作二证三算,”,的步骤求出,.,(2),特别地，,a,与,b,的夹角为,，,1,a,与,2,b,(,1,、,2,是非零常数,),的夹角为,0,，当,1,2,0,时，,0,.,反思与感悟(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向,答案,解析,90,且,O,是线段,BC,的中点，故线段,BC,是圆,O,的直径，,答案解析90且O是线段BC的中点，故线段BC是圆O的直径，,类型三平面向量基本定理的应用,解答,类型三平面向量基本定理的应用解答,解,四边形,ABCD,是平行四边形，,E,，,F,分别是,BC,，,DC,边上的中点，,解四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上,解答,引申探究,解,取,CF,的中点,G,，连接,EG,.,E,、,G,分别为,BC,，,CF,的中点，,解答引申探究解取CF的中点G，连接EG.,反思与感悟,将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解,.,反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一,解答,解答,a,，,b,不共线，,a，b不共线，,当堂训练,当堂训练,答案,2,3,4,5,1,解析,1.,下列关于基底的说法正确的是,平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；,基底中的向量可以是零向量；,平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的,.,A.,B.,C.,D.,解析,零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故,错，,正确,.,答案23451解析1.下列关于基底的说法正确的是,2,3,4,5,1,答案,解析,A.30 B.60,C.120 D.150,23451答案解析A.30 B.60 ,2,3,4,5,1,答案,解析,3.,已知向量,e,1,，,e,2,不共线，实数,x,，,y,满足,(2,x,3,y,),e,1,(3,x,4,y,),e,2,6,e,1,3,e,2,，则,x,_,，,y,_.,15,12,解析,向量,e,1,，,e,2,不共线，,23451答案解析3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满,答案,解析,2,3,4,5,1,a,b,2,a,c,再由三角形法则和平行四边形法则即可得到,.,答案解析23451ab2ac再由三角形法则和平行四边形法,解答,2,3,4,5,1,解答23451,2,3,4,5,1,解,连接,FD,，,DC,AB,，,AB,2,CD,，,E,，,F,分别是,DC,，,AB,的中点，,DC,綊,FB,.,四边形,DCBF,为平行四边形,.,23451解连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分,规律与方法,1.,对基底的理解,(1),基底的特征,基底具备两个主要特征：,基底是两个不共线向量；,基底的选择是不唯一的,.,平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件,.,(2),零向量与任意向量共线，故不能作为基底,.,规律与方法1.对基底的理解,2.,准确理解平面向量基本定理,(1),平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的,.,(2),平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决,.,2.准确理解平面向量基本定理,本课结束,本课结束,