单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,9.8,距 离,高中数学,9.8 距 离高中数学,问题：立体图形是由,组成的？,点、线和面,问题：点、线和面三者中有几种距离的情况？,点到直线的距离,两点间的距离,两异面直线的距离,点到面的距离,两直线间的距离,两平行线间的距离,直线到与它平行的平面的距离,点,线,面,两平行平面的距离,问题：立体图形是由组成的？点、线和面问题：点,C,1,D,1,B,1,A,1,D,C,B,A,E,F,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,，,边长为,2,，,E,，,F,分别为,AB,、,CC,1,的中点，,求,E,、,F,两点的距离,x,z,y,一、两点间的距离：,利用三角形求长度或两点的坐标距离公式或向量长度,就是两点连线段的长度,C1D1B1A1DCBAEF在正方体ABCD-A1B1C1D,练习：已知在一个,120,的二面角的棱上有,两个点,A,、,B,，,AC,、,BD,分别是在这个二面角,的两个面内，且垂直于,AB,的线段，,又,AB=AC=BD=4,，求,C,、,D,两点之间的距离,A,B,C,D,练习：已知在一个120的二面角的棱上有ABCD,1,、过该点,(,如图所示点,P),作直线,(,图中,l,),的垂线，,点,P,与垂足,Q,之间的线段,PQ,长度,.,l,P,二、点到直线的距离,2,、过,P,作直线,l,所在平面的垂线，垂足为,O,，,过,O,作直线,l,的垂线，垂足为,Q,，连结,PQ,，,则,|PQ|,为所求的距离,(,利用三垂线定理,),Q,P,l,O,Q,1、过该点(如图所示点P)作直线(图中l)的垂线，lP二、点,正方体,AC,1,的棱长为,2,求下列距离问题,(1)A,到,CD,1,的距离,A,B,C,A,1,B,1,D,1,C,1,D,正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题(1)A到CD1的距离,A,B,C,A,1,B,1,D,1,C,1,正方体,AC,1,的棱长为,2,求下列距离问题,(1)A,到,CD,1,的距离,D,(2)A,到,BD,1,的距离,ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题,正方体,AC,1,的棱长为,2,求下列距离问题,(1)A,到,CD,1,的距离,(2)A,到,BD,1,的距离,A,C,B,1,D,A,1,B,D,1,C,1,(3)A,到,CE,的距离,（,E,为,BB,1,的中点）,E,O,正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题(1)A到CD1的距离,3,、点到平面的距离,A,H,从平面外一点引这个平面的垂线,垂足叫做,点,在这个平面内,的射影,这个点和垂足间的距离叫做,点到平面的距离,线面垂直,点的射影,点面距离,3、点到平面的距离AH从平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做点,A,B,C,A,1,B,1,D,1,C,1,正方体,AC,1,的棱长为,1,求下列距离问题,D,(1)A,到面,A,1,B,1,CD,ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,A,B,C,A,1,B,1,D,1,C,1,正方体,AC,1,的棱长为,1,求下列距离问题,D,(1)A,到面,A,1,B,1,CD,(2)A,到平面,BB,1,D,1,ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题,棱长为,1,的正四面体,PABC,中，求点,P,到平面,ABC,的距离？,A,B,C,O,P,棱长为1的正四面体PABC中，求点P到平面ABC的距离？,已知三棱锥,P-ABC,的三条侧棱,PA=PB=PC,试判断点,P,在底面,ABC,的射影的位置？,已知三棱锥,P-ABC,的三条,侧棱,PA,PB,PC,两两垂直,试判断点,P,在底面,ABC,的射影的位置？,已知三棱锥,P-ABC,的,顶点,P,到底面三角形,ABC,的三条边的距离相等,试判断点,P,在底面,ABC,的射影的位置？,P,A,B,C,O,外心,垂心,内心,已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC已知三棱锥P-,4,、直线到平面的距离,l,A,1,A,一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点,到这个平面的距离叫做,直线到平面的距离,当直线与平面平行时，直线上,不同点,到,平面,的距离有何关系？为什么？,B,B,1,4、直线到平面的距离lA1A一条直线和一个平面平行时，直线,l,A,A,l,A,A,B,点,面,线,面,lAAlAAB点面线面,如果一条直线上有两个点到平面的距离,相等，则这条直线和平面平行吗？,如果一条直线上有两个点到平面的距离,已知一条直线上有两个点,A,B,到平面的距离,分别为,3cm,和,5cm,，求,AB,中点到平面的距离,3,5,5,3,已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离3553,空间四面体,ABCD,，问和点,A,B,C,D,距离相等的平面有几个？,A,B,C,D,4,B,C,D,A,B,D,A,B,D,A,空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个,空间四面体,ABCD,，问和点,A,B,C,D,距离相等的平面有几个？,A,B,C,D,A,B,C,D,3,A,B,C,D,空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个,空间四面体,ABCD,，问和点,A,B,C,D,距离相等的平面有几个？,B,D,A,C,4,B,C,D,3,A,空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D距离相等的平面有几个,如图，已知在长方体,ABCD,ABCD,中，棱,AA=5,，,AB=12,，求直线,BC,到平面,ABCD,的距离。,如图，已知在长方体ABCDABCD中，棱AA=5,5.,两个平行平面的距离,和两个平面,同时垂直,的直线，叫做这,两个平面的公垂线,。公垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这,两个平面的公垂线段,。,两个平行平面的,公垂线段,的长度，叫做,两个平行平面的距离,。,5.两个平行平面的距离和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个,l,A,1,A,l,A,1,A,点,面,线,面,l,A,1,A,面,面,面,面,lA1AlA1A点面线面lA1A面面面面,A,B,C,A,1,B,1,D,1,C,1,正方体,AC,1,的棱长为,2,求下列距离问题,D,平面,A,1,BD,与平面,CB,1,D,1,的距离,ABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为2,求下列距离问题,6.,两平行直线的距离,:,P,Q,AB,与,CD,是平面 内相距,28,的两条平行直,线,EF,是 外与,AB,平行且和,AB,距离为,17,和,相距,15cm,的直线,求,EF,和,CD,间的距离,.,6.两平行直线的距离:PQAB与CD是平面 内相距2,A,B,C,A,1,思考,：,任意两条异面直线都有公垂线吗？,有多少条公垂线？,如图,已知异面直线,AA,1,和,BC,，,直线,AB,与异面直线,AA,1,，,BC,都垂直相交。,和两条异面直线都,垂直相交,的直线叫做两条异面直线的,公垂线,，,公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的,公垂线段,。,7.,异面直线的距离,ABCA1思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？如图,已知异面,定理一,：,任意两条异面直线,有且只有一条,公垂线。,存在性：,直线,AB,就是异面直线,a,b,的公垂线,唯一性：,假如还有直线,A,1,B,1,也是,a,b,的公垂线，则,A,1,B,1,a,A,1,B,1,b,a,1,/,a,A,1,B,1,a,1,所以,A,1,B,1,平面,又,AB,平面,AB/A,1,B,1,则,a,b,共面 矛盾！,a,b,A,B,A,1,B,1,a,1,(,提供求异面直线距离转移为线面距离,),定理一：存在性：直线AB就是异面直线a,b的公垂线唯一性：假,a,a,b,A,A,d,E,F,l,m,n,例,已知两条异面直线所成的角为，在直线、上,分别取、，已知，求公垂线,段的长度。,解：,aabAAdEFlmn例 已知两条异面直线所成的角,定理二,：,两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中,最短,的一条。,a,b,A,B,C,D,两条异面直线的公垂线段的长度，叫做,两条异面直线的距离,定理二：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的,异面直线的距离公式：,已知正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,说出下列各对棱所在直线的公垂线，并求它们之间的距离：,A,1,B,1,与,BC,；,AB,与,CB,1,；,AC,与,D,1,B,1,；,CD,与,B,1,C,1,；,A,1,B,与,CD;,练 习,这其中要注意公式的变形及夹角。,异面直线的距离公式：已知正方体ABCD-A1B1C1D1,正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,P,为,AB,中点，,Q,为,BC,中点，,AA,1,=a,O,为正方形,ABCD,的中心，求,PQ,与,C,1,O,间的距离。,正方体ABCDA1B1C1D1中，P为AB中点，Q为BC,7.,如图，已知空间四边形,OABC,各边及对角线长都是,1,，,D,E,分别是,OA,BC,的中点，连结,DE,。,（,1,）求证：,DE,是,OA,和,BC,的公垂线。,（,2,）求,OA,和,BC,间的距离。,7.如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D,例,5,：,已知二面角,-,l,-,的大小是,120,0,，,A,C,且,AB,l,CD,l,，,AB=CD=a,AC=2a,求（,1,）,BD,的长；,（,2,）,BD,和,AC,所成角的余弦值；,（,3,）,BD,和,AC,的距离。,A,B,C,D,l,O,E,例5：ABCDlOE,思考：,已知正方体的棱长为,1,，求异面直线与的距离。,思考：已知正方体的棱长为1，求异面直线与,求异面直线的距离的常用方法：,（,1,）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。,a,b,（,2,）转化为求线面间的距离。,a/,平面,a,b,（,3,）转化为求平行平面间的距离。,a/,平面,b/,平面,注意：（,2,）,3,）可进一步转化为点到平面的距离。,课堂小结：,求异面直线的距离的常用方法：（1）找出（或作出）公垂线，计,（,4,）用模型公式,a,b,E,F,A,B,d,m,n,l,（4）用模型公式abEFABdmnl,在,棱长为,a,的正方体,AC,1,中，,求：（,1,）异面直线,AA,1,与,B,1,C,的距离。,（,2,）异面直线,AD,1,与,B,1,C,的距离。,（,3,）取,BB,1,、,BC,中点,E,、,F,，求异面直线,AD,1,与,EF,间的距离。,A,A,在棱长为a的正方体AC1中，AA,一、定义法：（,1,）直接找（,2,）先作后找,二、转化法：,（,1,）转化为直线与,平行平面之间的距离,（,2,）转化为两平行平面之间的距离。,一、定义法：（1）直接找（2）先作后找 二、转化法：（2,