单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十五章 电路方程的矩阵形式,主要内容：,1、拓扑图的基本概念,2、关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵,3、节电电压方程的矩阵形式,4、回路电流方程的矩阵形式,5、割集电压方程的矩阵形式,第十五章 电路方程的矩阵形式主要内容：,1,重点内容：,1.拓扑图的基本概念2.关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵3、节点电压方程的矩阵形式,难点：,1.割集的意义,2.、的列写及相互关系,3.含有受控源的节点电压方程的矩阵形式,重点内容：1.拓扑图的基本概念2.关联矩阵、基本回路矩阵,2,第十五章 电路方程的矩阵形式,15.1网络图论的概念,给定一个网络，如果不考虑元件的特性，可将各元件用一线段表示，由这种线段组成的图（反映了电路的连接关系）称为拓扑图或线图。（各边称为支路，各顶点称为节点。）,第十五章 电路方程的矩阵形式15.1网络图论的概念,3,支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-有向图,连通图,：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。,子图：,是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶点。,树：,在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不包含回路。,支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-有向图连通,4,如上图的一些树：,如上图的一些树：,5,拓扑图中属于树的各边称为,树支,，其余称为,连支,。由连支组成的部分称为,余树,。,割集：,在连通图中符合下列条件的边的集合称为割集。,(1).去掉该边集后原来的连通图不在连通；,(2).如果该边集中保留一条边不去掉，则图仍连通,；,如上图，由（b1 ,b4 ,b5）组成的割集。a.去掉b1 ,b4 ,b5后，分为两部分，不在连通；b.如果在b1 ,b4 ,b5中保留任意一条边则图仍为连通。,拓扑图中属于树的各边称为树支，其余称为连支。由连支组成的部,6,由（b,2,b,3,b,4,b,5,）也组成割集；由（b,1,b,3,，b,5,，b,6,）也组成割集。,基本割集：就是单树支割集，即该割集 中只含一条树支，其余为连枝。,如上图选b,1,b,3,b,5,为树，相应的基本割集如图，,由（b2,b3,b4,b5）也组成割集；由（b1,b3,，,7,Q,1,由（b,1,b,2,b,4,b,6,）组成，b,1,是树支，b,2,b,4,b,6,是连支；,Q,2,由（b,3,b,4,b,6,）组成，b,3,是树支，b,4,b,6,是连支；,Q,3,由（b,5,b,2,b,6,）组成，b,5,是树支，b,2,b,6,是连支。,规定,基本割集的方向,与其中的树支方向一致。,Q1由（b1,b2,b4,b6）组成，b1是树支，b2,b4,8,若将切割线Q,1,，Q,2,，Q,3,延伸成闭合面则有：,基本回路：,就是单连支回路。,规定,基本回路的方向,与其连支的方向一致。,-称为割集电流方程,可见割集电流方程可看作广义的节点电流方程（KCL）。,若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：基本回路：就是单,9,图中由（b,2,b,3,b,6,）组成的回路不是基本回路，因为有两条连支。,如图：,回路l,1,：由（b,2,b,1,b,5,）组成，b,2,是连支；,回路l,2,:由（b,4,b,1,b,3,）组成，b,4,是连支；,回路l,3,由（b,6,b,1,b,3,b,5,）组成，b,6,是连支。,-称为回路电压方程,图中由（b2,b3,b6）组成的回路不是基本回路，因为有两条,10,15.2关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵,1关联矩阵（节点与支路的关系）,a.关联矩阵,设电路的节点数为n，支路数为b，依次给出支路和节点的编号，然后把有向图结构用一个n b阶矩阵来表示，记为 ，称为电路的节点-支路关联矩阵。简称关联矩阵。矩阵的行对应于有向图的节点，列对应于有向图的支路，其元素 定义如下：,15.2关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵1关联矩阵（节点与支路,11,当支路k不连接到节点j时；,当支路k连接到节点j时，且方向为离开节点；,当支路k连接到节点j时，且方向为指向节点；,当支路k不连接到节点j时；,12,1 2 3 4 5 6 行号,列号,如图的关联矩阵为：,列号如图的关联矩阵为：,13,特点：a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和的相反的数相等。b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的一行后记为（n-1）b阶矩阵称为降阶的关联矩阵 简称关联矩阵。用符号 表示。在 中划去的行对应的节点即为参考节点。如上图选节点为参考节点则有：,特点：a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼此独立的，其,14,每一行都是相互独立的；且与有向图是一一对应的。,每一行都是相互独立的；且与有向图是一一对应的。,15,b.关联矩阵与节点电流定律（KCL）,用矩阵形式表示的支路电流列向量为,若用关联矩阵,左乘支路电流列向量,可得一个n行的列向量矩阵，该列向量中每一行的,元素之和恰为离开该节点的支路电流与流入该节点,的支路电流的代数和。（离开节点的电流为正，,流入节点的电流为负）由KCL可得节点电流代数,和为零。因此有 左乘其值 为零的向量即有：,称为矩阵形式的KCL.,或,（正弦稳态电路时应用）,b.关联矩阵与节点电流定律（KCL）用矩阵形式表示的支路电流,16,如前图有：,为n-1个节点的KCL。,c.节点电压与支路电压之间的矩阵形式关系式,设电路(n-1)节点电压的列向量为：,支路电压的列向量为：,如前图有：为n-1个节点的KCL。c.节点电压与支路电压之间,17,用关联矩阵的转置矩阵 左乘节点电压列向量,可得一个b行的列矩阵。中的每一列元素反映了,支路所连接的两个节点且为一正一负。,因此 与 乘积的列向量每一行中只包含该支路,离开节点的电压（为正）与指向节点的电压（为负）之差即为该支路电压，即有：,或,如前图，节点电压列向量为,用关联矩阵的转置矩阵 左乘节点电压列向量因此 与,18,矩阵形式的KVL,反映了,节点电压与支路电压之间的关系,矩阵形式的KVL,反映了,19,2.回路矩阵,a.回路矩阵独立回路可以选取单连支回路，这样建立的回路矩阵（b-n+1）b阶矩阵）称为基本回路矩阵，简称回路矩阵。用 表示，其行对应于某一回路；列对应于某一支路；元素 b,jk,满足下列关系：,支路k不包含在回路j中；,支路k包含在回路j中，且方向与回路j的绕向一致；,支路k包含在回路j中，且方向与回路j的绕向相反；,J为回路号也是行号，k为支路号也是列号。,2.回路矩阵a.回路矩阵独立回路可以选取单连支回路，这样建立,20,如图选取支路1、2、3作为树，,则有基本回路矩阵为：,回路l,1,(1,2,3,4),回路l,2,(1,2,5)组成。,回路l,3,(2,3,6),（各回路的绕向与该回路中连支,的方向相同）由此可知：,.若支路编号采取先树支后连支，则 的右,半部分是个单位矩阵，即有 若支路的编号采取先连支后树支则有：,是由树支组成的回路子矩阵。,如图选取支路1、2、3作为树，回路l1(1,2,3,4)回路,21,.回路矩阵的行反映了某一回路与支路的关系即,该回路是由那些支路组成，以及支路与回路的方,向是否相同；而回路矩阵的列反映了某一支路与,所有回路的关系即该支路都属于哪个回路中，,以及该支路与回路的方向是否相同。,.若选取网孔回路则称为网孔回路矩阵。通常用,表示。,b.回路矩阵与回路电流定律,支路电压与回路电压的关系：,设支路电压的参考方向与支路电流的方向为关联,方向，,为支路电压列向量；用回路矩阵 左乘支路电压列向量 可得一个（b-n+1)个元素的列向量，,.回路矩阵的行反映了某一回路与支路的关系即.若选取网孔回,22,其每一行都包含了该回路中所有支路电压的代数和,（支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）,由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零,即有 或 称为矩阵形式的KVL。,如上图中，,其每一行都包含了该回路中所有支路电压的代数和如上图中，,23,支路电流与回路电流的关系：,设回路电流列向量为,用,左乘,中所有回路电流的代数和，且回路电流方向与支路方向一致时为正，反之为负；即为该支路的电流值。,则乘积的每一行之和恰为流过该支路,则有：,或,如上图有：,支路电流与回路电流的关系：设回路电流列向量为 用 左乘 中所,24,或,3.割集矩阵,a.割集矩阵（割集与支路的关系）,割集与支路的关系可以用一个矩阵来描述，其行号对应于割集号，列号对应于支路号，则元素：,或 3.割集矩阵 a.割集矩阵（割集与支路的关系）割集与支,25,当支路k不再割集j内；,当支路k在割集j内，且方向与割集j方向一致；,当支路k在割集j内，且方向与割集j方向相反；,这样建立的矩阵称为割集矩阵。,表示。（n-1）,b阶矩阵）,用,选择单树支割集作为一组独立的割集，对应的矩阵称为基本割集矩阵。,当支路k不再割集j内；当支路k在割集j内，且方向与割集j方向,26,如图所示，选支路（1，2，3）为树，,单树支割集及方向如图，则有,若支路编号按照先树支后连支，而且顺次列写，割集方向为树支方向则 中包含一个（n-1）(n-1)阶单位矩阵，表示为：,表示由连支组成的割集矩阵.,如图所示，选支路（1，2，3）为树，若支路编号按照先树支后,27,b.割集KCL的矩阵形式,用割集矩阵 左乘支路电流列向量 则其乘积的,每一行之和恰好为穿过该割集表面的支路电流的代数和（KCL）即为零向量。,或,（为广义节点的KCL的矩阵形式）,如上图：,则有：,b.割集KCL的矩阵形式用割集矩阵 左乘支路电流列向,28,c.割集电压与支路电压的关系,若选单树支割集为基本割集，则割集电压即为树支电压，可用（n-1）阶列向量表示 ，用割集矩阵的转置矩阵 左乘割集电压列向量 其乘积为支路电压列向量 即有：,或,如上图有：,则有,c.割集电压与支路电压的关系若选单树支割集为基本割集，则割集,29,15.3关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的关系,对于同一个电路，若各支路、节点的编号及方向均相同时，其关联矩阵 基本回路矩阵 和基本割集矩阵 存在一定的关系。,如图所示，选1、2、3为树支，,采取单树支割集和单连支回路,矩阵，则有：,用 左乘 可得：,15.3关联矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的关系 对于,30,即有：,或,若电路的支路编号按先树支后连支则上式可写为：,即有：,表示由树支组成的回路矩阵子矩阵；,表示由连支组成的割集矩阵子矩阵。,即有：或 若电路的支路编号按先树支后连支则上式可写为：即有,31,在上图中，设节点为参考节点，则关联矩阵为：,用 左乘 可得：,即有,或,在上图中，设节点为参考节点，则关联矩阵为：用 左,32,若选择只包围一个节点的割集，且方向为离开节点，则有割集矩阵 就是关联矩阵,如果支路编号按先树支后连支方式，则关联矩阵,两边左乘 可得：,即有：,所以基本回路矩阵可写为：,可由关联矩阵求得基本回路矩阵。,同样由,和,可得：,若选择只包围一个节点的割集，且方向为离开节点，则有割集矩阵,33,所以有,即可由关联矩阵求得基本割集矩阵。,15.4节点电压方程的矩阵形式,本节介绍用系统性的方法来建立矩阵形式的节点,电压方程组。,典型支路结构如图：,由支路元件,、独立电压源,、独立电流源,组成，,支路电流,，支路电压 ，其电流电压的参考,方向如图。在正弦稳态情况下，可得支路电流,电压关系式：,其中,，含有b条支路组成的电路有：,所以有 即可由关联矩阵求得基本割集矩阵。15.4节点电压方,34,其矩阵形式为，,其中有：,支路电压列向量矩阵；,支路电流列向量矩阵；,支路电压源列向量矩阵；,支路电流源列向量矩阵；,其矩阵形式为，其中有：支路电压列向量矩阵；支路电流列向量矩,35,为支路阻抗矩阵，电路不包含受控源时为一对,角线矩阵，即有,与之对应的支路导纳矩阵为：,且有,对式,两边左乘支路导纳矩阵可得：,即有：,对其式两边左乘关联矩阵 得：,即有,因为支