单击此处编辑母版标题样式,一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性,一、有界性与最大值最小值定理,二、零点定理与介值定理,1.10 闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理 1.1,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值,对于在区间,I,上有定义的函数,f,(,x,),如果有,x,0,I,使得对于任一,x,I,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),则称,f,(,x,0,)是函数,f,(,x,)在区间,I,上的最大值(最小值),最大值与最小值举例:,函数,f,(,x,),=,1,+,sin,x,在区间0,2,p,上有最大值 2 和最小值 0,一、有界性与最大值最小值定理最大值与最小值最大值与最小值举例,函数,y,=,sgn,x,在区间(,-,+,)内有最大值1和最小值,-,1,但在开区间(0,+,)内,它的最大值和最小值都是1,最大值与最小值举例:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值,对于在区间,I,上有定义的函数,f,(,x,),如果有,x,0,I,使得对于任一,x,I,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),则称,f,(,x,0,)是函数,f,(,x,)在区间,I,上的最大值(最小值),函数y=sgn x 在区间(-+)内,并非任何函数都有最大值和最小值,例如，函数,f,(,x,),=,x,在开区间(,a,b,)内既无最大值又无最小值,应注意的问题:,一、有界性与最大值最小值定理,最大值与最小值,对于在区间,I,上有定义的函数,f,(,x,),如果有,x,0,I,使得对于任一,x,I,都有,f,(,x,),f,(,x,0,)(,f,(,x,),f,(,x,0,),则称,f,(,x,0,)是函数,f,(,x,)在区间,I,上的最大值(最小值),并非任何函数都有最大值和最小值 应注意的问,说明:,定理1(,最大值和最小值定理),在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一点,x,2,a,b,使,f,(,x,2,)是,f,(,x,)在,a,b,上的最小值,至少有一点,x,1,a,b,使,f,(,x,1,)是,f,(,x,)在,a,b,上的最大值,定理说明,如果函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,那么,说明:定理1(最大值和最小值定理)又至少有一点x2a,应注意的问题:,如果函数仅在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如,函数,f,(,x,),=,x,在开区间(,a,b,),内既无最大值又无最小值,定理1(,最大值和最小值定理),在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,应注意的问题:例如 函数f(x)=x在开区,又如,如下,函数在闭区间0,2,内既无最大值又无最小值,应注意的问题:,如果函数仅在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,定理1(,最大值和最小值定理),在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,又如 如下函数在闭区间0 2应注意的,定理2(有界性定理),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,证明,设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,根据定理1,存在,f,(,x,)在区间,a,b,上的最大值,M,和最小值,m,使任一,x,a,b,满足,m,f,(,x,),M,上式表明,f,(,x,)在,a,b,上有上界,M,和下界,m,因此函数,f,(,x,)在,a,b,上有界,定理1(,最大值和最小值定理),在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值,定理2(有界性定理)证明 设函数f(x)在,二、零点定理与介值定理,注:,如果,x,0,使,f,(,x,0,),=,0,则,x,0,称为函数,f,(,x,)的零点,定理3(零点定理),设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,)与,f,(,b,)异号,那么在开区间(,a,b,)内至少一点,x,使,f,(,x,),=,0,二、零点定理与介值定理注:定理3(零点定理),例1,证明方程,x,3,-,4,x,2,+,1,=,0在区间(0,1)内至少有一个根,证明,设,f,(,x,),=,x,3,-,4,x,2,+,1,则,f,(,x,)在闭区间0,1上连续,并且,f,(0),=,10,f,(1),=-,2,二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理),设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,)与,f,(,b,)异号,那么在开区间(,a,b,)内至少一点,x,使,f,(,x,),=,0,定理4(介值定理)二、零点定理与介值定理定理3(零点定理),二、零点定理与介值定理,定理3(零点定理),设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,)与,f,(,b,)异号,那么在开区间(,a,b,)内至少一点,x,使,f,(,x,),=,0,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值,M,与最小值,m,之间的任何值,定理4(介值定理),设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续,且,f,(,a,),f,(,b,),那么,对于,f,(,a,)与,f,(,b,)之间的任意一个数,C,在开区间(,a,b,)内至少有一点,x,使得,f,(,x,),=,C,二、零点定理与介值定理定理3(零点定理)推论 定理4(介值,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,设函数,f,(,x,)和,g,(,x,)在点,x,0,连续,则函数,在点,x,0,也连续,例1,因为sin,x,和cos,x,都在区间(,-,+,)内连续,所以,tan,x,和cot,x,在它们的定义域内是连续的,三角函数 sin,x,、cos,x,、sec,x,、csc,x,、tan,x,、cot,x,在其有定义的区间内都是连续的,一、连续函数的和、积及商的连续性定理1 设,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数,f,(,x,)在区间,I,x,上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数,x,f,1,(,y,)在区间,I,y,y,|,y,f,(,x,),x,I,x,上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数,y,=,arcsin,x,在区间,-,1,1上也是连续的,例2,同样,y,=,arccos,x,在区间,-,1,1上是连续的,y,=,arctan,x,在区间(,-,+,)内是连续的,y,=,arccot,x,在区间(,-,+,)内是连续的,二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数f,反三角函数arcsin,x,、arccos,x,、arctan,x,、arccot,x,在它们的定义域内都是连续的,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数,f,(,x,)在区间,I,x,上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数,x,f,1,(,y,)在区间,I,y,y,|,y,f,(,x,),x,I,x,上也是单调增加(或减少)且连续的,所以它的反函数,y,=,arcsin,x,在区间,-,1,1上也是连续的,例2,反三角函数arcsin x、arccos x,注:,(1)把定理中的,x,x,0,换成,x,可得类似的定理,提示:,定理3,例3,解,设函数,y,f,g,(,x,)由函数,y,f,(,u,)与函数,u,g,(,x,)复合而成,注:(1)把定理中的xx0换成x 可,设函数,y,f,g,(,x,)由函数,y,f,(,u,)与函数,u,g,(,x,)复合而成,U,(,x,0,),D,f,o,g,若函数,u,g,(,x,)在点,x,0,连续 函数,y,f,(,u,)在点,u,0,g,(,x,0,)连续 则复合函数,y,f,j,(,x,)在点,x,0,也连续,定理4,定理3,设函数,y,f,g,(,x,)由函数,y,f,(,u,)与函数,u,g,(,x,)复合而成,设函数yfg(x)由函数yf(u)与,sin,u,当,-,u,+,时是连续的,例4,解,内是连续的,sin u 当-u+时是连续的,三、初等函数的连续性,结论,基本初等函数在它们的定义域内都是连续的,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,注:,所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间,三、初等函数的连续性结论注:,例6,例5,解,解,利用连续性求极限举例,例6 例5,例7,令,a,x,-,1,=,t,解,则,x,=,log,a,(1,+,t,),x,0时,t,0,于是,利用连续性求极限举例,例7 令a x-1=t 解,