,单击此处编辑母版标题样式,*,1,5-4,、哈密顿方程,一、保守系统的拉格朗日方程,设：,L,T-V,（拉格朗日函数）,拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组,A,B,2,5-4,、哈密顿方程,二、哈密顿方程简介,其中：,哈密顿方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组，,对于定常约束的保守系统，哈密顿函数,H,就是系统的动能与势能的和，,即：,3,5-4,、哈密顿方程,例题,：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程,1,、系统的广义坐标：,2,、系统的动能,系统的哈密顿函数,H=T+V,4,5-4,、哈密顿方程,例：,图示机构在铅垂面内运动，均质杆,AB,用光滑铰链与滑块连接。杆与滑块用刚度系数为,k,1,的扭簧连接,时扭簧无变形,求系统哈密顿方程。,AB,2L,M,是正定对称矩阵，是广义坐标的函数,5,5-4,、哈密顿方程,系统的哈密顿函数,H=T+V,6,例题的数值仿真,摆杆的运动,滑块的运动,现象：,不同的初始条件，系统的动力学行为不同。,7,例题的数值仿真,不稳定区域,8,太阳系,哈密顿系统,在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统，其动力学方程可表示成：,问题：,如何精确地计算行星的运动轨迹，准确地预测行星位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。,k=3n,n,为行星的个数,(=9,大行星,+,近百个小行星,),9,例题的数值仿真,对角隐式辛,RK,算法,显式,RK,算法,CPU-time:142s,CPU-time:7737s,(,变步长,),10,第二类拉格朗日方程的总结,对于具有,完整理想约束,的质点系，若系统的自由度为,k,，,则系统的动力学方程为：,其中：,T,：,为系统的动能，,V,：,为系统的势能,：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力,当系统为保守系统时，有：,1,：若系统存在循环坐标 ，则：,2,：若系统的拉格朗日函数不显含时间,t,，则：,11,第二类拉格朗日方程的总结,例：,系统如图所示，已知：为弹簧原长。,求滑块的拉格朗日方程首次积分。,解：,系统（滑块）的广义坐标为,q,拉格朗日函数 中不显含时间,t,则,Lagrange,方程有,广义能量积分,-T,2,为牵连惯性力的势能,12,第二类拉格朗日方程的总结,例：,系统如图所示，求系统动力学方程；维持,AB,匀角速,转动所需的控制力偶,M,。,已知：为弹簧原长。,解：,系统的广义坐标为,当 时,问题：,该题还可以用什么方法求解？,13,第二类拉格朗日方程的总结,例：,在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆,AB,用光滑铰链与圆盘连接。初始时，杆水平，系统静置。求,系统在图示位置时,，杆的,角速度,、,角加速度以及,A,点的速度和加速度,。,AB=L,A,B,解：,系统的主动力均为有势力,14,第二类拉格朗日方程的总结,当：,上式对时间求导得：,15,第二类拉格朗日方程的总结,例：,在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆,AB,用光滑铰链与圆盘连接。图示瞬时系统静止。求该瞬时地面的,约束力,。,AB=L,，,R,A,B,解：,系统的主动力均为有势力,16,第二类拉格朗日方程的总结,求地面的法向力,:,研究整体,求摩擦力,:,研究圆盘,A,B,17,第二类拉格朗日方程的总结,例：,系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上（无相对滑动），另一端悬挂在,A,点。求系统的运动微分方程。,关键问题：,求系统的动能和势能,P,18,第二类拉格朗日方程的总结,例：,系统如图所示，均质圆盘可绕,O,轴转动，不计质量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球,A,（视为质点）连接，求系统的运动微分方程,。,已知：,m,r,，,J,o,问题：,系统有几个自由度？,如何选取广义坐标？,系统的动能和势能？,