*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2024/11/20,1,计算方法,2024/11/20,2,第一章 绪论,1.3 误差,1.1 数值计算的研讨对象与特点,1.2 数值问题与数值方法,2024/11/20,3,本章要点:,绝对误差(限)和相对误差(限),有效数字位数及其与误差的关系,数值问题的性态与误差的关系,数值算法设计原那么,2024/11/20,4,1.1 计算机数值方法的研讨对象与特点,数值计算方法：研讨适宜计算机进展科学计算的方法。,运用计算机、离散。,处文科学技术和工程问题的步骤:,实践问题建立数学模型研讨计算方法,编程上机计算求的结果。,2024/11/20,5,数值分析的特点：,1、面向计算机。,2、有可靠的实际分析收敛性、稳定性、误差分析。,3、要有好的计算复杂性时间、空间,4、要有数值实验。,2024/11/20,6,数值问题：,输入数据与输出数据之间函数关系的,一个确定而无歧义的描画,即：输入与输出的都是数值的数学问题,如求解线性方程组,求解二次方程,是数值问题,一、数值问题,1.2 数值问题与数值算法,2024/11/20,7,求解微分方程,不是数值问题,将其变成数值问题，即将其“离散化,“离散化是将非数值问题的数学模型化为数值问题,的主要方法，这也是计算方法的义务之一,2024/11/20,8,二、数值方法,数值方法:,是指解数值问题的在计算机上,可执行的系列计算公式,在计算机上可执行的公式,是指只含有加减乘除的公式,如今的计算机中几乎都含有关于开方的规范函数sqrt(),常见的在计算机上不能直接运转的计算有:,开方、极限、超越函数、微分、积分等等,要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价,或近似等价运算,2024/11/20,9,应化为,如求根公式,应化为公式,2024/11/20,10,研讨数值方法的主要义务:,1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可,执行的运算,2.针对所求解的数值问题研讨在计算机上可执行,的且有效的计算公式,3.由于能够采用了近似等价运算,故要进展误差分析,即数值问题的性态及数值方法的稳定性,2024/11/20,11,三、数值算法,数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程.,数值算法有四个特点:,1.目的明确,算法必需有明确的目的,其条件和结论,均应有清楚的规定,2.定义准确,对算法的每一步都必需有准确的定义,3.可执行,算法中的每一步操作都是可执行的,4.步骤有限,算法必需在有限步内可以完成解题过程,2024/11/20,12,对算法所要思索的问题:,1.计算速度。例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算;而用克莱姆法那么要进展 次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。,2.存储量。大型问题有必要思索。,3.数值稳定性。在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。,这一类问题主要由计算机的位数引起,由于能够采用了近似等价运算,故要进展误差分析,(1)防止大数吃小数,得到的误差限分别为：,如此,精度将得到适当改善.,程进展截断,这就带来误差.,(1)尽量减少运算次数,的值与准确解差别很大。,大型问题有必要思索。,由中学知识韦达定理可知,方程的准确解为,针对所求解的数值问题研讨在计算机上可执行,那么由定理1,相对误差限满足,的值与准确解差别很大。,这一类问题主要由计算机的位数引起,数学模型一旦建立,进入详细计算时所考,2024/11/20,13,1.3 数值计算的误差,一、误差的种类及来源,模型误差,在建立数学模型过程中,要将复杂的景象笼统归结为数学模型,往往要忽略一些次要要素的影响,而对问题作一些简化,因此和实践问题有一定的区别.,观测误差,在建模和详细运算过程中所用的数据往往是经过察看和丈量得到的,由于精度的限制,这些数据普通是近似的,即有误差,截断误差,由于计算机只能完成有限次算术运算和逻辑运算,因此要,将有些需用极限或无穷过程进展的运算有限化,对无穷过,程进展截断,这就带来误差.,2024/11/20,14,如:,假设将前假设干项的部分和作为函数值的近似公式,由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差,Taylor展开,2024/11/20,15,舍入误差,在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因,计算机遭到机器字长的限制,它所能表示,的数据只能有一定的有限位数,如按四舍,五入规那么取有限位数,由此引起的误差,过失误差,由于模型错误或方法错误引起的误差.,这类误差普通可以防止,2024/11/20,16,数值计算中除了过失误差可以防止外,其他误差都是,难以防止的.数学模型一旦建立,进入详细计算时所考,虑和分析的就是截断误差和舍入误差,经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人,因此如何控制误差的传播也是数值方法的研讨对象.,二、误差和误差限,定义1.,2024/11/20,17,绝对误差限或误差限.,显然,或,且,2024/11/20,18,哪个更准确呢?,定义2.,2024/11/20,19,绝对误差限,相对误差限,往往未知,替代相对误差,替代相对误差限,因此,2024/11/20,20,例1.,解:,2024/11/20,21,例2.,解:,可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将,不超越其末位数字的半个单位,2024/11/20,22,有4位有效数字,有6位有效数字,三、有效数字,定义3.假设近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该,位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n,位有效数字.,有8位有效数字,只需4位有效数字,2024/11/20,23,且,其中,2024/11/20,24,例3.,实践上只1有个,2024/11/20,25,定理.,2024/11/20,26,例4.,从以上分析可见,四舍五入的近似值的数字都是有效数字,而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字,m=2,m=3,2024/11/20,27,定理1.,2024/11/20,28,例5.,解:,那么由定理1,相对误差限满足,即应取4位有效数字,近似值的误差限不超越0.1%.,要使,的相对误差不超越0.1%，应至少取,几位有效数字？,2024/11/20,29,四、数值运算的误差估计,两个近似数 与 ，其误差限分别为 及 ，它们进展加、减、乘、除运算,得到的误差限分别为：,2024/11/20,30,故,这是由于,故,2024/11/20,31,当f为多元函数时，如计算 ，,假设,的近似值为,，于是误差限,而,的相对误差限为,例6.P9,2024/11/20,32,五、数值方法的稳定性与算法设计原那么,例7.,计算定积分,解:,2024/11/20,33,误差放大,5千倍!,但假设利用递推公式,2024/11/20,34,因此在计算公式选用及算法设计时,应留意以下原那么,1.四那么运算中的稳定性问题,(1)防止大数吃小数,这一类问题主要由计算机的位数引起,假设做一个有效数字为4位的连加运算,误差会放大,误差不会放大,2024/11/20,35,而假设将小数放在前面计算,在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进展相加,如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法.,2024/11/20,36,(2)作减法时应防止相近数相减,两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失,由于,在算法设计中,假设能够出现两个相近数相减,那么改动,计算公式,如运用三角变换、有理化等等,2024/11/20,37,例8.,解方程,解:,由中学知识韦达定理可知,方程的准确解为,而假设在字长为8位的计算机上利用求根公式,机器吃了,因此在计算机上,2024/11/20,38,的值与准确解差别很大。假设用,2024/11/20,39,(3)防止小数作除数和大数作乘数,在算法设计时,要防止这类算法在计算公式中出现,2024/11/20,40,2.提高算法效率问题,(1)尽量减少运算次数,只需14次乘法运算而不是255次,运用秦九韶算法,对多项式,可大大减少计算量,2024/11/20,41,(2)尽量运用耗时少的运算,(3)充分利用存储空间,本章作业,P19.1.2.5.6.,9.,