单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,G,表示的几种,几何形体以及其上的积分,：,D,闭区间,a,b,L,(平面有界,闭区域),（,平面有限,曲线段）,（有限曲,面片）,(空间有界,闭区域),(空间有限,曲线段),二重积分,三重积分,对弧长的曲线积分,对面积的曲面积分,几何形体上的积分,重积分,对弧长的（第一类）曲线积分,对面积的（第一类）曲面积分,当,G,为平面或空间有限光滑(或分段光滑),曲线(,L,或 )时，积分称为,对弧长的曲线积分,或,第一类曲线积分,即,当,L,(或 )为,简单闭曲线,时,对弧长的积分记为,计算思路,：,化为定积分来计算,点在,L,上变化,复习弧长微分概念,对弧长的曲线积分的计算,(1)直角坐标情形,对,x,取,有,弧长微分公式,以直代曲,一、弧长微分,过点,M,作切线，,(2)参数方程情形,曲线弧为,且在,上具有连续导数,弧长微分公式,(,化为定积分,),（1）参数方程情形,其中,且,设曲线,二、对弧长,曲线积分的计算,1.平面曲线积分,(,化为对,t,的定积分,),因此,计算公式,第一类曲线积分的计算公式,注1:,故右端的定积分存在,.,注2:,在第一型曲线积分的计算中,定积分的,下限一定要小于上限,.,（,2,）直角坐标情形,化成参数方程,若,例1,计算,其中,L,的方程是,解,先求参数形式的弧微分,例2,计算,其中,L,是以,为顶点的,三角形边界.,L,是分段光滑弧段,解,在,OA,上，,故,在,AB,上，,故,故,在,BO,上，,因此,2.空间对弧长的曲线积分计算,(参数情形),曲线,平面情形的推广,例3,计算,其中,是螺线,的第一圈,解,以圆弧的圆心为坐标原点,例4,有一段铁丝成半圆形,L,，,半径为,R,，,其上任一点的线密度的大小等于该点到其,两端点连线的距离，,求其质量.,L,的对称轴为,y,轴,.,则,建立坐标系,:,解,线密度为,质量为,L,(,半圆弧,),的参数方程为,小 结,对弧长的曲线积分的计算,-,化为定积分,1.把积分路径,L,代入,被积函数；,2.根据积分路径,L,的不同的表示形式，,求出,弧微分,.,3.定出定积分的上下限，,下限小于上限,.,(1),曲线弧为,参数方程,的计算,(2)曲线弧的方程为,显函数方程,的计算,将显函数方程化为,参数形式：,思考题,1.以下两式正确否？,（1）区域,则,(错误),（2）曲线,则,(正确),2.若有不均匀的椭圆,形构件，,其上一点,的线密度,则此椭圆形构件,的平均线密度是,提示：平均线密度=质量,M/,曲线长,L,平均线密度,平均线密度,讨论题,由此给出对弧长的曲线积分的,几何意义,.,已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？,提示：由定积分的几何意义推广.,答：柱面的侧面积,（,准线,y,=,y,(,x,)为底边，,z,=,f,(,x,y,)为,高,的面积）,y,=,y,(,x,),平面上对弧长的曲线积分几何意义：,作 业,P.131,