单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二十一章：一元二次方程,一元二次方程,学习目标,1.,了解一元二次方程的概念应用一元二次方程概念解决一些简单问题,2,掌握一元二次方程的一般形式,ax,2,bx,c,0(a0),及有关概念,3,会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念,重点难点,重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索,难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项,预习导学,一、自学指导,问题,1,：如图，有一块长方形铁皮，长,100cm,，宽,50cm,，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒,.,如果要制作的无盖方盒的底面积为,3600cm,2,，那么铁皮各角应切去多大的正方形？,分析,：设切去的正方形的边长为,xcm,，则盒底的长为,宽为,得方程：,整理得：,.,(100-2x)cm,(50-2x)cm,(100-2x)(50-2x)=3600,x,2,-750 x+350=0,预习导学,问题,2,：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场,.,根据场地和时间等条件，赛程计划安排,7,天，每天安排,4,场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？,分析：全部比赛的场数为,.,设应邀,x,个队参赛，每个队要与其他,个队各赛,1,场，所以全部比赛共,场,.,列方程为,=28.,化简整理得,.,28,(x-1),x,2,-x-56=0,预习导学,探究,(1),方程中未知数的个数各是多少？,(2),它们最高次数分别是几次？,归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是,，只含有,未知数,(,一元,),，并且未知数的最高次数是,的整式方程,.,1.,一元二次方程的定义,等号两边都是,，只含有,个求知数（一元），并且求知数的最高次数是,（二次）的方程，叫做一元二次方程。,1,个,2,次,整式,一个,二次,整式,一,2,2.,一元二次方程的一般形式,一般地，任何一个关于,x,的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：,ax,2,bx,c,0(a0),这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中,是二次项，,是二次项系数，,是一次项，,是一次项系数，,是常数项。,点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号,.,二次项系数,a0,是一个重要条件，不能漏掉,.,预习导学,ax,2,a,bx,b,c,二、自学检测,1,判断下列方程，哪些是一元二次方程？,（,1,）,x,3,-2x,2,+5,0;,（,2,）,x,2,=1,；,（,3,）,5x,2,-2x,x,2,2x,；,（,4,）,2(x,1),2,3(x,1),；,(5,）,x,2,2x,x,2,1,；（,6,）,ax,2,bx,c,0,解：（,2,）、（,3,）、（,4,）,点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程,预习导学,预习导学,2,将方程,3x(x,1),5(x,2),化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项,解：去括号，得：,3x,2,3x,5x,10,，移项合并同类项，得：,3x,2,8x,10,0,，其中二次项系数是,3,，一次项系数是,8,，常数项是,10.,点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整,合作探究,一、小组合作,:,小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果,1,求证：关于,x,的方程,(m2,8m,17)x2,2mx,1,0,，无论,m,取何值，该方程都是一元二次方程,证明：,m,2,8m,17,(m,4),2,1,，,(m,4),2,0,，,(m,4),2,10,，即,(m,4),2,10.,无论,m,取何值，该方程都是一元二次方程,点拨精讲：要证明无论,m,取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明,m,2,8m,170,即可,合作探究,2,下面哪些数是方程,2x,2,10 x,12,0,的根？,4,，,3,，,2,，,1,，,0,，,1,，,2,，,3,，,4.,解：将上面的这些数代入后，只有,2,和,3,满足等式，所以,x,2,或,x,3,是一元二次方程,2x,2,10 x,12,0,的两根,点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可,合作探究,二、跟踪练习：,学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲 解思路,1,判断下列方程是否为一元二次方程,(1)1,x,2,0;(2)2(x,2,1),3y,；,(3)2x,2,3x,1,0;(4),0,；,(5)(x,3),2,(x,3),2;,(6)9x,2,5,4x.,解：,(1),是；,(2),不是；,(3),是；,(4),不是；,(5),不是；,(6),是,2,若,x,2,是方程,ax,2,4x,5,0,的一个根，求,a,的值,解：,x,2,是方程,ax,2,4x,5,0,的一个根，,4a,8,5,0,，,解得：,a,.,合作探究,3,根据下列问题，列出关于,x,的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：,(1)4,个完全相同的正方形的面积之和是,25,，求正方形的边长,x,；,(2),一个长方形的长比宽多,2,，面积是,100,，求长方形的长,x.,解：,(1)4x,2,25,，,4x,2,25,0,；,(2)x(x,2),100,，,x,2,2x,100,0.,课堂小结,1,一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程,2,一元二次方程的一般形式,ax,2,bx,c,0(a0),，特别强调,a0.,3,要会判断一个数是否是一元二次方程的根,当堂训练,本课时对应训练部分,轴对称,引言,对称现象无处不在，从自然景观到艺术作,品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可,以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！,引出新知,探索新知,问题,1,如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折,痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了,美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共,同的特点吗？,追问,你能举出一些轴对称图形的例子吗？,探索新知,如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部,分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直,线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条,直线（成轴）对称,共同特征：,每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合,探索新知,问题,2,观察下面每对图形（如图），你能类比前,面的内容概括出它们的共同特征吗？,追问,1,你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？,探索新知,把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另,一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成,轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对,应点，叫做对称点,两者的区别：,轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图,形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两,个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能,够重合,探索新知,追问,2,你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个,图形成轴对称有什么区别与联系吗,？,两者的联系：,把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个,轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图,形，这两个图形关于这条轴对称,探索新知,追问,2,你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个,图形成轴对称有什么区别与联系吗,？,追问,1,你能说明其中,的道理吗？,探索新知,问题,3,如图，,ABC,和,A,B,C,关于直线,MN,对称，点,A,B,C,分别是点,A,，,B,，,C,的对称点，线,段,AA,，,BB,，,CC,与直线,MN,有什么关系？,A,B,C,M,N,P,A,B,C,探索新知,追问,2,上面的问题说明“如果,ABC,和,A,B,C,关于直线,MN,对称，那么，直线,MN,垂直,线段,AA,，,BB,和,CC,，并且直线,MN,还平分线段,AA,，,BB,和,CC,”,如,果将其中的“三角形”改为,“四边形”“五边形”,其,他条件不变，上述结论还成,立吗？,A,B,C,M,N,P,A,B,C,经过线段中点并且垂直,于这条线段的直线，叫做这,条线段的垂直平分线,探索新知,问题,3,如图，,ABC,和,A,B,C,关于直线,MN,对称，点,A,B,C,分别是点,A,，,B,，,C,的对称点，线,段,AA,，,BB,，,CC,与直线,MN,有什么关系？,A,B,C,M,N,P,A,B,C,探索新知,追问,3,你能用数学语言概括前面的结论吗？,成轴对称的两个图形的性质：,如果两个图形关于某条,直线对称，那么对称轴是任,何一对对应点所连线段的垂,直平分线即对称点所连线,段被对称轴垂直平分；对称,轴垂直平分对称点所连线段,A,B,C,M,N,P,A,B,C,结论：,直线,l,垂直线段,AA,，,BB,，,直线,l,平分线段,AA,，,BB,（或直,线,l,是线段,AA,，,BB,的垂直平分,线）,探索新知,问题,4,下图是一个轴对称图形，你能发现什么结,论？能说明理由吗？,A,B,l,A,B,追问你能用数学语言概括前面,的结论吗？,探索新知,问题,4,下图是一个轴对称图形，你能发现什么结,论？能说明理由吗？,A,B,l,A,B,轴对称图形的性质：,轴对称图形的对称轴，是任何,一对对应点所连线段的垂直平分线,探索新知,问题,4,下图是一个轴对称图形，你能发现什么结,论？能说明理由吗？,A,B,l,A,B,课堂练习,练习,1,如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如,果是，指出它的对称轴,课堂练习,练习,2,如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称,的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点,（,1,）本节课学习了哪些主要内容？,（,2,）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是,什么？,（,3,）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有,什么性质？我们是怎么探究这些性质的？,课堂小结,教科书习题,13,.,1,第,1,、,2,、,3,、,4,、,5,题,布置作业,