4.3.2 空间两点间的距离公式,2006,年,3,月俄罗斯空军特技飞行表演队在我国著名风景区张家界市天门山进行特技表演,为了保证安全飞行，飞行员及地面指挥员们如何准确确定飞机之间的距离？,1.,在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？,那么，如何求空间中两点间的距离呢？,1.,掌握空间两点间的距离公式,.,（重点）,2.,会应用距离公式解决有关问题,.,（难点）,3.,通过对空间两点间距离公式的探究与推导,初步,意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间,问题的基本思想方法,.,在空间直角坐标系中，若已知两个点的坐标，则这两点之间的距离是惟一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此，我们从理论上进行探究,.,x,y,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),Q(x,2,y,1,),O,x,2,y,2,x,1,y,1,长,a,，宽,b,，高,c,的长方体的对角线，怎么求？,d,c,a,b,O,P,z,y,x,x,y,z,在空间直角坐标系中,点,P(x,，,y,，,z),到,xOy,平面的距离，怎么求？,一、探究：空间两点间的距离公式,垂线段的长,在空间直角坐标系中,点,P(x,0,，,y,0,，,z,0,),到坐标轴的距离，怎么求？,垂线段的长,1.,空间点到原点的距离,探究：,如果,是定长,r,那么,表示什么图形？,O,x,y,z,P,在空间中，到定点的距离,等于定长的点的轨迹是,以原点为球心，,半径长为,r,的球面,2.,如果是空间中任意一点,P,1,（,x,1,，,y,1,，,z,1,）,到点,P,2,（,x,2,，,y,2,，,z,2,）之间的距离公式会是怎样呢？,如图，设,P,1,（,x,1,，,y,1,，,z,1,）、,P,2,（,x,2,，,y,2,，,z,2,）,是空间中任意两点，且点,P,1,（,x,1,，,y,1,，,z,1,）、,P,2,（,x,2,，,y,2,，,z,2,）,在,xOy,平面上的射影分别为,M,N,那么,M,N,的坐标为,M,（,x,1,，,y,1,，,0,），,N,（,x,2,，,y,2,，,0,）,.,O,y,z,x,M,P,1,P,2,N,M,1,N,2,N,1,M,2,H,在,xOy,平面上,过点,P,1,作,P,2,N,的垂线，垂足为,H,则,所以,因此，空间中任意两点,P,1,（,x,1,，,y,1,，,z,1,）、,P,2,（,x,2,，,y,2,，,z,2,）,之间的距离,在空间直角坐标系中，点,P(x,1,y,1,z,1,),和点,Q(x,2,y,2,z,2,),的中点坐标,(x,y,z):,二、空间中点坐标公式,原结论成立,.,证明,:,例,1,求证以,M,1,(4,3,1),、,M,2,(7,1,2),、,M,3,(5,2,3),三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,.,答案：,1.,求下列两点的距离,【,变式练习,】,例,2.,在,z,轴上求与两点,A(,4,1,7),和,B(3,5,2),等距离的点,解：,设所求的点为,M,(0,0,z,),，依题意有,解之得,即,所以所求点的坐标是,答案：,在,z,轴上求一点,M,，使点,M,到,A,（,1,0,2,）与点,B,（,1,，,-3,1,）的距离相等,.,【,变式练习,】,1,到定点,(1,，,0,，,0),的距离小于或等于,1,的点的集,合是（）,A.(x,，,y,，,z)|(x-1),2,+y,2,+z,2,1,B.(x,，,y,，,z)|(x-1),2,+y,2,+z,2,=1,C.(x,，,y,，,z)|x,2,+y,2,+z,2,2,D.(x,，,y,，,z)|x,2,+y,2,+z,2,1,A,2,在,RtABC,中，,BAC=90,，三点的坐标为,A(2,，,1,，,1),，,B(1,，,1,，,2),，,C(x,，,0,，,1),，则,x=_.,3,若点,P(x,，,y,，,z),到,A(1,，,0,，,1),，,B(2,，,1,，,0),两点的距离相等，则,x,、,y,、,z,满足的关系式,是,_.,2,2x+2y-2z-3=0,4,已知点,P,在,z,轴上满足,|OP|=1,（,O,是坐标原点），,则点,P,到点,A(1,，,1,，,1),的距离是,_.,5,正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别,为,A(-1,，,2,，,-1),，,B(3,，,-2,，,3),，则正方体的棱长,为,_.,4,类比,猜想,一、两点间距离公式,在空间直角坐标系中，点,P(x,1,y,1,z,1,),和点,Q(x,2,y,2,z,2,),的中点坐标,(x,y,z):,二、空间中点坐标公式,不要害怕批评。当你提出新的观念时，就要准备接受别人的批评。,