单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 多元复合函数的求导法则,高等数学,06-03-01,第三节 多元复合函数的求导法则高等数学,复合函数,设,z,=,f,(,u,v,),，其中,u,=,u,(,x,y,),，,v,=,v,(,x,y,),，则称函数,z,=,f,u,(,x,y,),v,(,x,y,),为,x,y,的,复合函数,。,高等数学,06-03-02,复合函数高等数学,高等数学,06-03-03,定理,如果函数,u,=,u,(,x,y,),，,v,=,v,(,x,y,),，在点,(,x,y,),有连续的偏导数，且函数,z=f,(,u,v,),在对应点,(,u,v,),也有连续的偏导数，则复合函数,z=f,u,(,x,y,),v,(,x,y,),在点,(,x,y,),有对,x,及对,y,的连续偏导数，且,高等数学,x,z,u,v,y,x,y,高等数学,06-03-04,xzuvyxy高等数学,链法则,求,z,对,x,的偏导数，就看图中从,z,到,x,有几条线，沿每条线如同一元复合函数那样求导，然后相加即得，此过程称为多元函数的,链法则,。,高等数学,06-03-05,x,z,u,v,y,x,y,链法则高等数学,例,已知函数,z,=,u,2,v,2,，而,u,=2,x,y,，,v,=,x,2,y,，求,z,对,x,及,y,的偏导数。,高等数学,06-03-06,x,z,u,v,y,x,y,例 已知函数 z=u2v2，而 u=2xy，v=x,全微分形式的不变性,无论把函数,z,看作自变量,x,、,y,的函数，或看作中间变量,u,、,v,的函数，它们的全微分的形式是一样的，这叫做多元函数的（一阶）,全微分形式的不变性,。,高等数学,06-03-07,全微分形式的不变性高等数学,推广,设,z=f,(,u,v,w,),，而,u=u,(,x,y,),，,v=v,(,x,y,),，,w=w,(,x,y,),，则有,高等数学,06-03-08,推广高等数学,高等数学,06-03-09,课堂讨论题,设函数 ，而,，,，求,z,对,x,及,y,的偏导数。,x,z,u,v,y,x,y,高等数学,全导数,若复合函数的中间变量有多个，但自变量只有一个，此时的导数称为,全导数,。,u,z,v,t,t,高等数学,06-03-10,如,z,=,f,(,u,v,),，而,u,=,u,(,t,),，,v,=,v,(,t,),，则,全导数uzvtt高等数学,u,z,v,t,t,t,例,设,z,=,uv,sin,t,，而,u,=e,t,，,v,=cos,t,，求函数的全导数。,高等数学,06-03-11,uzvttt例 设 z=uvsint，而 u=et，,高等数学,06-03-12,课堂讨论题,设函数 ，而,，,，求函数的全导数。,x,z,y,t,t,高等数学,例,直圆锥的高以,10cm/s,的速度递减，底半径以,5cm/s,的速度递增，求当高为,100cm,，底半径为,50cm,那一瞬间，圆锥体积的变化率。,高等数学,06-03-13,例 直圆锥的高以 10cm/s 的速度递减，底半径以,例,设,e,z,xyz,=0,，求,z,对,x,及,y,的偏导数。,高等数学,06-03-14,例 设 ezxyz=0，求 z 对 x 及 y 的偏,小结,：,多元复合,复合函数,多元复合函数求导的,链法则,全微分形式的不变性,全导数,高等数学,06-03-15,作业,：,P188,习题六,21 23,28,小结：多元复合复合函数高等数学,高等数学,06-03-16,P188,习题六,28,设,e,x+y,+,xyz,=e,z,，求,和,。,高等数学,