Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学隐函数,第一页，共29页。,一、隐函数的导数,若由方程,可确定,y,是,x,的函数,由,表示的函数,称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化.,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 求方程,所确定的隐函数的导,数,解：,方程两边分别对,x,求导数，,所以,第三页，共29页。,例2.求由方程,在,x,=0,处的导数,解:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0 时,y,=0,故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,求由方程,所确定的隐函数,的导数,并求出,写出通过曲线,上,点,的切线方程.,解：,方程两边对,x,求导,解出,得,将,代入,得,解得,所以,点,的切线方程为,即,第五页，共29页。,例4.,求椭圆,在点,处的切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第六页，共29页。,例5.,求由方程,二阶导数。,确定的隐函数的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,方程两边分别对,x,求导数，,所以,第七页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练：求由方程,所确定的,隐函数的导数,第八页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对数求导法,：,对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法,求导简便些.,1)对幂指函数,都可导.,两边取对数(化成了隐函数),然后按隐函数求导法,求出 的导数.,即,第九页，共29页。,例6.求,的导数.,解:,两边取对数,化为隐式,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十页，共29页。,2)有些显函数用,对数求导法,求导很方便.,例如,两边取对数,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一页，共29页。,例7.设,对,x,求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求导数。,第十二页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,设,求,解：,两边取对数得,方程两边分别对,x,求导数，,第十三页，共29页。,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成,x,是,y,的函数),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十四页，共29页。,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数.,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十五页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8,已知椭圆的直角坐标方程为,求,及,写出椭圆的参数方程；,解：,椭圆的参数方程为：,为求,列出参数方程：,第十六页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求椭圆在,相应的点处的切线方程。,解:,当,时，,椭圆上的对应点为,此点切线斜率为：,切线方程为：,第十七页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10,设曲线 方程为,当,时所对应的点,与法线方程；,解：,求曲线,处的切线方程,看成为,是,如果把曲线,的函数，,求,点的坐标为：,点切线斜率为：,第十八页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的,即,切线方程为:,即,法线方程为:,看成为,是,如果把曲线,的函数，,则,第十九页，共29页。,例11.,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向.,解:,先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(即轨迹的切线方向):,设,为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十页，共29页。,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即,t,=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十一页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12,求由摆线,所确定的函数,的二阶导数。,解:,第二十二页，共29页。,且,求,解:,练习:,P112 题8(1),解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十三页，共29页。,例14,设由方程,确定函数,求,解:,方程组两边对,t,求导,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十四页，共29页。,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十五页，共29页。,例15.,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十六页，共29页。,思考题:,当气球升至,500 m,时停住,有一观测者以,100 mmin,的速率向气球出发点走来,当距离为,500 m,时,仰角的增加率是多少?,提示:,对,t,求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十七页，共29页。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作 业：,P111112 1(3);2；3(4),；,4（2）;7(1);8(2),第二十八页，共29页。,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二十九页，共29页。,