,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第二章章末归纳整合,1,第二章章末归纳整合1,2,2,a,b,O,A,B,b,a,结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用,同一平面内的两条有向线段表示。,因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有,关结论仍适用于它们。,空间向量的运算,3,abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可,平面向量,概念,加法,减法,数乘,运算,运,算,律,定义,表示法,相等向量,减法:三角形法则,加法:三角形法则或,平行四边形法则,空间向量,具有大小和方向的量,数乘:ka,k为正数,负数,零,加法交换律,加法结合律,数乘分配律,加法交换律,数乘分配律,加法结合律,类比思想 数形结合思想,数乘:ka,k为正数,负数,零,4,平面向量概念加法运定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三,一、共线向量:,零向量与任意向量共线.,1.共线向量:,空间两向量互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作,2.共线向量定理:,对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数,使,共线向量定理与共面向量定理,5,一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:空,二.共面向量:,1.共面向量:,平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,O,A,注意：,空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。,6,二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向,1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab,求x,y的值。,2、证明：三向量a=e,1,+e,2,b=3e,1,-2e,2,c=2e,1,+3e,2,共面；若a=mb+nc，试求实数m、n之值。,7,1、已知a=(2,4,5),b=(3,x,y),若ab,7,1）两个向量的夹角,O,A,B,空间向量的数量积,向量a与b的夹角记作：,8,1）两个向量的夹角OAB空间向量的数量积向量a与b的夹角记,2）两个向量的数量积,注意：,两个向量的数量积是数量，而不是向量.,零向量与任意向量的数量积等于零。,9,2）两个向量的数量积注意：9,4)空间向量的数量积性质,注意：,性质2）是证明两向量垂直的依据；,性质3）是求向量的长度（模）的依据；,对于非零向量，有：,10,4)空间向量的数量积性质 注意：对于非零向量，有：10,5)空间向量的数量积满足的运算律,注意：,数量积不满足结合律,11,5)空间向量的数量积满足的运算律 注意：数量积不满足结合律1,1、应用 可证明两直线垂直，,2、利用 可求线段的长度。,向量数量积的应用,12,1、应用 可证明两直线垂直，向,空间向量正交分解及其坐标表示,单位正交基底：,如果空间的一个,基底,的三个,基向量互相垂直,，且,长都为1,，则这个基底叫做,单位正交基底,，常用 i,j,k 表示。,则空间中任意一个向量p可表示为,p=xi+yj+zk,(x,y,z)就是向量p的坐标。,13,空间向量正交分解及其坐标表示 单位正交基底：,空间向量基本定理：,如果三个向量a,b,c,不共面,，那么对空间任一向量p,存在有序,实数组x,y,z,使得p=xa+yb+zc.,空间所有向量的集合p|p=xa+yb+zc,x,y,zR,a,b,c叫做空间的一,组,基底。,14,空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c空间所有向量的集合,3.1.5 向量的直角坐标运算,15,3.1.5 向量的直角坐标运算15,二、距离与夹角,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,16,二、距离与夹角1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此,在空间直角坐标系中，已知、,，则,（2）空间两点间的距离公式,终点坐标减,起点坐标,17,在空间直角坐标系中，已知、（2）空间两点间的距离,2.两个向量夹角公式,注意：,（1）当 时，同向；,（2）当 时，反向；,（3）当 时，。,思考：当 及 时，的夹角在什么范围内？,18,2.两个向量夹角公式注意：思考：当 及,立体几何中的向量方法,19,立体几何中的向量方法19,1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形问题）,20,1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1,a,l,a,二、怎样求平面法向量？,21,ala二、怎样求平面法向量？21,设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面，,的法向量分别为u,v,则,线线平行：lm a b a=kb;,线面平行：l au au=0;,面面平行：u v u=kv.,线线垂直：l m a b a,b=0;,面面垂直：u v u,v=0.,线面垂直：l a u a=ku;,三、有关结论,22,设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面，线线平行：l,异面直线所成角的范围：,结论：,题型一：线线角,利用空间向量求空间角,23,异面直线所成角的范围：结论：题型一：线线角利用空间向量求空,题型二：线面角,直线与平面所成角的范围：,题型二：线面角,直线AB与平面所成的角可看成是向量与平面的法向量所成的锐角的余角，所以有,24,题型二：线面角直线与平面所成角的范围：题型二：线面角直线A,题型三：二面角,二面角的范围,：,关键：观察二面角的范围,25,题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围25,立体几何中的向量方法坐标法,问题1：已知：,ABC,为正三角形，,EC,平面,ABC,且,EC,DB,在平面,ABC,同侧，,CE=CA=2BD.,求证：,平面,ADE,平面,ACE.,怎样建立适当的空间直角坐标系？,怎样证明平面,ADE,平面,ACE？,如何求平面A,DE、,平面AC,E,的法向量？,一个平面的法向量有多少个？,能否设平面,ADE,的法向量为,n,=(1,y,z)?,这样做有什么好处？,26,立体几何中的向量方法坐标法问题1：已知：ABC为正三角,解：分别以,CB，CE,所在直线为y,z轴，,C,为原点建立空间直角坐标系,C,-xyz,如右下图,设正三角形,ABC,边长为2则,C(0,0,0)、E(0,0,2)、D(0,2,1)、B(0,2,0)、,设,N,为,AC,中点，则,N,连接,BN,，,ABC,为正三角形，,BN,AC，EC,平面,ABC,BN,EC,又,ACEC=C,BN,平面,ACE.,因此可取向量 为平面,ACE,的法向量.那么,设平面,ADE,的法向量为,n=(1,y,z),则,n,n,27,解：分别以CB，CE所在直线为y,z轴，C为原点建立空间直角,n=,n,平面,DEA,平面,ACE.,为了方便计算，能否取平面,ACE,的法向量为,28,n=n平面DEA平面ACE.为了方便计算，能否取平,通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？,步骤如下：,1.建立适当的空间直角坐标系；,2.写出相关点的坐标及向量的坐标；,3.进行相关的计算；,4写出几何意义下的结论.,29,通过上例，你能说出用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤吗？步,1、怎样利用向量求距离？,点到平面的距离：,连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（,如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值,）。,点到直线的距离：,求出垂线段的向量的模。,直线到平面的距离：,可以转化为点到平面的距离。,平行平面间的距离：,转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。,30,1、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：连结该点与平面上任意,