单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第八章,采样系统理论,1,第八章采样系统理论1,8-1 采样过程与采样定理,主要内容,8-2 信号的恢复与零阶保持器,8-3 z变换与z逆变换,8-4 脉冲传递函数,8-5 采样系统的性能分析,8-6 采样系统的数字校正,返回主目录,2,8-1 采样过程与采样定理主要内容8-2 信号的恢复与零阶保,基 本 要 求,正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联系。,z,变换和,z,逆变换，熟练掌握几种典型信号的,z,变换和通过部分分式分解进行逆变换, 了解用,z,变换法解差分方程的主要步骤和方法。,正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法, 掌握典型闭环采样系统输出的,z,变换表达式。,返回子目录,3,基 本 要 求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持,熟练掌握z域稳定性的判别方法。,熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。,熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。,掌握最小拍采样系统的设计步骤。,4,熟练掌握z域稳定性的判别方法。4,图8-1 机载火力控制系统原理图,5,图8-1 机载火力控制系统原理图5,8-1 采样过程与采样定理,一、采样过程,将连续信号转换成离散信号的过程,返回子目录,该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示，,其中载波信号 ，,是一个周期为T，宽度为,的脉冲序列，如图8-3（b）所示。,幅值为,幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。,调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为,(,6,8-1 采样过程与采样定理一、采样过程将连续信号转换成离,图8-3 信号的采样过程,T,7,图8-3 信号的采样过程T7,实现上述采样过程的装置称为,采样开关,可用图8-3（d）所示的符号表示。,（8-1）,由于载波信号,是周期函数，,故可以展成如下Fourier级数,（8-2）,8,实现上述采样过程的装置称为采样开关（8-1）由于载波信号是周,则采样信号 可以表示为,（8-4）,（8-3）,其中， 为采样频率，Fourier系数 由下式给出,9,则采样信号 可以表示为（8-4）（8-3）其中，,若连续信号的Fourier变换为 ，则采样信号的Fourier变换为,连续信号 与离散信号 的频谱曲线如图8-4所示。,（8-5）,10,若连续信号的Fourier变换为 ，则采样信号的,图8-4连续信号与离散信号的频谱,11,图8-4连续信号与离散信号的频谱 11,当 时，主分量与补分量不再发生重叠，如图8-5所示。,图8-5 连续信号与离散信号的频谱,12,当 时，主分量与补分量不再发生重叠，如图8-,香农（Shannon）采样定理,若存在一个,理想,的,低通滤波器,，其频率特性如图8-6所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的,图8-6,香农（Shannon）采样定理。,13,香农（Shannon）采样定理 若存在一个理想的低通滤波器，,如果采样频率 满足以下条件,式中 为连续信号频谱的上限频率。,则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。,（8-6）,14,如果采样频率 满足以下条件式中 为连续信号频谱的上,二、理想采样过程,为了简化采样过程的数学描述，引入如下,理想采样开关,的概念 。,载波信号 可以近似成如下理想脉冲序列（ ）,（8-7）,15,二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样,再设当 时，,则采样过程的数学描述为,此时，采样过程如图8-7所示。,理想,采样开关的输出是一个,理想,脉冲序列。,（8-8）,16,再设当 时， 则采样过程的数学描述为 此时，采,图8-7 理想采样开关的采样过程,17,图8-7 理想采样开关的采样过程17,同样， 可以展成如下Fourier级数,其中,（8-10）,则有,（8-11）,和,（8-12）,18,同样， 可以展成如下Fourier级数 其中（8-,图8-9 连续信号和采样信号的频谱,19,图8-9 连续信号和采样信号的频谱19,注 意 ：,上述香农采样定理要求满足以下两个条件：,频谱的上限频率是有限的。,2. 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。,20,注 意 ： 上述香农采样定理要求满足以下两个条件：2.,8-2 信号的恢复与零阶保持器,信号的恢复,是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为,保持器,。,可将,展成如下泰勒级数,时，,（8-13）,返回子目录,21,8-2 信号的恢复与零阶保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为,各阶导数的近似值,由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。,（8-14）,22,各阶导数的近似值 由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1,零阶保持器的数学表达式为,（8-16）,图8-10 信号的采样与保持过程,23,零阶保持器的数学表达式为 （8-16）图8-10 信号的采样,理想采样开关的输出Laplace变换为,零阶保持器的输出为,(8-17),(8-18),24,理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8,由上式可知零阶保持器的,(8-20),(8-19),传递函数,25,由上式可知零阶保持器的 (8-2,零阶保持器的频率特性为,相频特性为,(8-22),(8-23),其幅频特性为,26,零阶保持器的频率特性为 相频特性为(8-22)(8-23)其,其中,零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。,27,其中零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6可,图8-11 零阶保持器的频率特性曲线,幅频特性,(b) 相频特性,28,图8-11 零阶保持器的频率特性曲线幅频特性(b) 相频特,8-3,z,变换与,z,逆变换,一、,z,变换,连续信号 经采样后得到的脉冲序列为,对上式进行Laplace变换，得,（8-25）,（8-26）,返回子目录,29,8-3 z变换与z逆变换一、z变换对上式进行Laplace,引入一个新的复变量,将式上式代入式（8-26）可得,z变换,的定义式如下,称 为 的,z变换,，记作 或,由此可看出 是关于复变量 的幂级数 。,（8-28）,（8-29）,30,引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得 z变换的定,例8-1,求单位脉冲信号的,z,变换。,解：,设 ，则,由于 在时刻 的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有,31,例8-1 求单位脉冲信号的z变换。 解：设,例8-2,求单位阶跃信号的,z,变换,。,解：,设 ，则,该级数的收敛域为 ，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式,32,例8-2 求单位阶跃信号的z变换。 解： 设,例8-3,求单位斜坡信号的,z,变换。,设 ，则,上式两边对,z,求导数，并将和式与导数交换，得,上式两边同乘 ，便得单位斜坡信号的,z,变换,解：,33,例8-3 求单位斜坡信号的z变换。 设,例8-4,求指数函数的z变换。,解：,设 ，则,34,例8-4 求指数函数的z变换。解：设,例8-5,设 ，求 的z变换。,解：,上式两边求Laplace逆变换，得,再由例8-2和例8-4有,35,例8-5设 ，求 的z变换。解：上式,注意：,不能直接将 代入,来求 ，因为z变换是针对采样信号 进行z变换。,36,注意：不能直接将 代入36,二、z变换的基本定理,其中 和 为任意实数。,1线性定理,（8-30）,若 和 的z变换为 和 ，,则,37,二、z变换的基本定理其中 和 为任意实,证明：,38,证明：38,2实数位移定理,若 的z变换为 ，则,（8-31）,（8-32）,39,2实数位移定理 若 的z变换为 ，则（8-,证明：,证明式（8-31）,由于当 时， ，所以有,40,证明： 证明式（8-31）40,证明式（8-32）,41,证明式（8-32）41,3复位移定理,已知 的z变换函数为 ，则,证明：,42,3复位移定理已知 的z变换函数为 ，则证,4,z,域尺度定理,若已知 的z变换函数为 ，则,证明：,其中，,为任意常数。,（8-34）,43,4z域尺度定理 若已知 的z变换函数为,三、,z,逆变换,z,逆变换是,z,变换的,逆运算,。其目的是由象函数 求出所对应的采样脉冲序列,（或 ），记作,（8-35）,z,逆变换只能给出采样信号 ，而不能给出连续信号 。,注意,44,三、z逆变换 z逆变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数,1. 部分分式法,上式两边同乘z，再取z反变换得,（8-36）,（8-37）,（8-38）,若象函数 是复变量z的有理分式， 且 的极点 互异，则 可展成如下形式：,45,1. 部分分式法上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（,例8-6,已知z变换函数,求其z逆变换。,46,例8-6 已知z变换函数46,解：,首先将 展成部分分式,47,解： 首先将 展成部分分式 47,2 . 长除法,对比式（8-29）可知,若z变换函数 是复变量z的有理函数，则可将 展成 的无穷级数，即,（8-40）,（8-41）,48,2 . 长除法对比式（8-29）可知 若z变换函数,例8-7,已知z变换函数为,求其z逆变换。,49,例8-7 已知z变换函数为49,解：,由,运用长除法得,由此得,于是脉冲序列可以写成,50,解： 由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成50,3 . 留数计算法,由z变换的定义可知,（8-43）,51,3 . 留数计算法由z变换的定义可知（8-43）51,设 的极点为 ，则,包围了,的所有极点,。,（8-48）,52,设 的极点为,例8-8,已知z变换函数为,试用围线积分方法求z逆变换。,53,例8-8 已知z变换函数为53,解：,上式有两个极点 和 ，且,所以,54,解：上式有两个极点 和 ，且 所以,四、初值定理和终值定理,1.初值定理,设 的,z,变换为 ，并且有极限 存在，,则,（8-49 ）,55,四、初值定理和终值定理1.初值定理 （8-49 ）55,2 终值定理,设 的,z,变换为 ，,且 的极点均在,z,平面的单位圆内，则,（8-50）,56,2 终值定理 设 的z变换为,五、用,z,变换法解线性常系数差分方程,1.差分的定义,假设在图8-1所示的采样系统中，模拟-数字转换器在离散时间对误差信号 进行采样，并将瞬时值 记为 或 ，则 的一阶前项差分定义为,57,五、用z变换法解线性常系数差分方程1.差分的定义57,二阶前向差分定义为,n阶前向差分定义为,n阶后向差分定义为,58,二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为58,2.线性定常差分方程,线性n阶差分方程可表示为,3.线性差分方程的求解,例8-9 已知差分方程为,输入信号 ，初始条件 ，求响应,。,59,2.线性定常差分方程线性n阶差分方程可表示为3.线性差分方程,解 对差分方程两边进行z变换，可得,其中,由所给初始条件得,z逆变换得,60,解 对差分方程两边进行z变换，可得 其中由所给初始条件得z逆,例 8-10 已知差分方程为,初始条件为 。,解 对方程两边进行z变换，得,则,逆变换得,61,例 8-10 已知差分方程为初始条件为,8-4 脉冲传递函数,一、脉冲传递函数的定义,脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比,（8-59）,返回子目录,图8-12,62,8-4 脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义,系统输出的采样信号为,经虚设采样开关得到的脉冲序列 反映的是连续输出 在采样时刻的瞬时值。,63,系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列,二、开环脉冲传递函数,1开环脉冲传递函数的推导,64,二、开环脉冲传递函数1开环脉冲传递函数的推导64,（8-66）,由此,65,（8-66）由此65,求该开环系统的脉冲传递函数 。,例8-11,系统结构如图8-12所示，其中连续部分的传递函数为,66,求该开环系统的脉冲传递函数 。例8-11 系统结构如图,解：,连续部分的脉冲响应函数为,脉冲传递函数为,67,解： 连续部分的脉冲响应函数为 脉冲传递函数为67,或由 得,查表得,68,或由 得查表得68,2串联环节的脉冲传递函数,（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数,（8-67）,图8-13,69,2串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲,例 8-12,系统结构如图8-13所示，其中,求开环脉冲传递函数。,70,例 8-12 系统结构如图8-13所示，其中,解：,71,解：71,(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数,如图8-14所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为,（8-68）,图8-14 串联环节间有采样开关的开环系统,72,(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-14所示，,例8-13,系统结构如图8-14所示，其中,求开环脉冲传递函数。,73,例8-13 系统结构如图8-14所示，其中73,解：,所以,由于,74,解： 所以由于74,（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数,开环脉冲传递函数为,图8-15 带零阶保持器的开环采样系统,75,（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为 图8-,例 8-14,系统结构如图8-15所示，其中,采样周期 s，求其开环脉冲传递函数。,76,例 8-14 系统结构如图8-15所示，其中76,解：,由于,所以,77,解：由于77,三、闭环脉冲传递函数,图8-16 闭环采样系统,78,三、闭环脉冲传递函数图8-16 闭环采样系统78,采样开关的输入和系统的输出 分别为,79,采样开关的输入和系统的输出 分别为79,整理得,于是闭环系统的脉冲传递函数为,80,整理得 于是闭环系统的脉冲传递函数为80,例 8-15,闭环采样系统的结构如图8-16所示，其中,采样周期 s，,求闭环脉冲传递函数。,若 ，求 。,81,例 8-15 闭环采样系统的结构如图8-16所示，其中,解：,对于阶跃输入函数有,82,解：对于阶跃输入函数有82,则输出信号的z变换为,于是,83,则输出信号的z变换为于是83,注意,有些闭环采样系统不可能求出 形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号 的表达式。如图8-17所示的闭环采样系统,（8-17）,84,注意 有些闭环采样系统不可能求出 形式的闭,8-5 采样系统的性能分析,一、稳定性,1.从s平面到z平面的影射关系,由z变换的定义,（8-80）,若令,（8-81）,则有,（8-82）,返回子目录,85,8-5 采样系统的性能分析一、稳定性由z变换的定义（8-8,左半s平面上 的带称为主带，其他称为 次带。,图8-18 从s平面到z平面的影射,86,左半s平面上 的带称为主,2.z域的稳定条件和稳定性判据,在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于z平面的,单位圆,内。,设采样系统的闭环脉冲传递函数为,则闭环特征方程为,（8-84）,87,2.z域的稳定条件和稳定性判据 在z平面上系统稳定的充分必,(1) 朱利（Jury）稳定判据,且 ，根据特征方程的系数构造朱利阵列，则特,征方程,的根均位于单位圆内的充分必要条件为,共（n-1）个约束条件,（8-86）,（8-87）,88,(1) 朱利（Jury）稳定判据 且,例8-16,已知采样系统的闭环特征方程为,试判断该系统的稳定性。,解：,89,例8-16 已知采样系统的闭环特征方程为解：89,朱利阵列,行数,1,-0.125,0.75,-1.5,1,2,1,-1.5,0.75,-0.125,3,-0.98,1.41,-0.56,4,-0.56,1.41,-0.96,系统是稳定的,90,朱利阵列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.,(2) 劳 思(Routh) 稳 定 判 据,在,分析连续系统,时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。,对于,采样系统,，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。,91,(2) 劳 思(Routh) 稳 定 判 据在分析连续系统时,引入如下双线性变换,此时可用Routh判据判断采样系统,的稳定性。,92,引入如下双线性变换 此时可用Routh判据判断采样系统92,(3),z,平面的根轨迹方法,以上述例8-15的闭环采样系统为例，其特征方程为,可知使系统稳定的最大K值为4.33。,例8-19的根轨迹图,93,(3) z平面的根轨迹方法 以上述例8-15的闭环采样系统,二、闭环极点与瞬态响应之间的关系,设采样系统的,闭环传递函数,为,（8-91）,若输入信号为,单位阶跃,，则,94,二、闭环极点与瞬态响应之间的关系设采样系统的闭环传递函数为,将 按部分分式展开，得,上式中第一项为,稳态分量,，第二项为,瞬态分量,，显然瞬态分量的变化规律取决于极点在z平面中的位置。,95,将 按部分分式展开，得 上式中第一项为稳态,图8-20,不同极点所对应的瞬态响应,96,图8-20 96,三、稳态误差,图8-21 单位负反馈采样系统,（8-97）,在输入信号 作用下，误差的z变换表达式为,97,三、稳态误差图8-21 单位负反馈采样系统（8-97）在输入,1.当输入为阶跃函数时,定义静态位置误差系数为,则根据终值定理，有,98,1.当输入为阶跃函数时 定义静态位置误差系数为则根据终值定理,2.当输入是斜坡函数时,定义静态速度误差系数为,稳态误差为,99,2.当输入是斜坡函数时 定义静态速度误差系数为稳态误差为99,3.当输入是等加速信号时,定义静态加速度误差系数为,稳态误差为,100,3.当输入是等加速信号时 定义静态加速度误差系数为稳态误差为,例8-17,已知采样系统的结构如图所示，其中，,，采样周期 s，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差。,图8-22,101,例8-17 已知采样系统的结构如图所示，其中，图8-2210,解：,采样系统的闭环特征方程为,采样系统的开环脉冲传递函数为,102,解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为10,该采样系统稳定,在,阶跃和斜坡函数,作用下的稳态误差为零,静态,加速度误差系数,为,因此，在输入 作用下的稳态误差为,103,该采样系统稳定 在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零因此，在,8-6 采样系统的数字校正,如图所示的闭环采样系统，闭环脉冲传递函数为,图8-23 含数字校正装置的采样系统,返回子目录,104,8-6 采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统，闭环脉冲传,系统的误差为,其中 为 的有限次多项式，若能选择合适的 ，使,其中 为关于 的多项式，并且不含因子 。,设输入为时间的幂函数At,q,（ ），其中 为正整数，则,105,系统的误差为其中 为 的有限次多项式，若能选,则,稳态误差,为零。,（8-108）,（8-109）,将 代入上式，便可确定所需要的数字校正装置的脉冲传递函数 。,又为了使系统能在尽可能少的周期内实现对输入的完全跟踪，应使中 所含 项的数目最少，为此应取,106,则 稳态误差,1. 当 时,最少拍无差系统的闭环传递函数为,此时误差信号的z变换为,系统经过1拍便可以完全跟踪上输入信号。,（8-110）,（8-111）,107,1. 当 时 最少拍无差系统的闭,2 . 当 时,最少拍无差系统的闭环传递函数为,此时误差信号的z变换为,系统经过2拍便可以完全跟踪上输入信号。,（8-112）,（8-113）,108,2 . 当 时 最少拍无差系,3 .当 时,最少拍无差系统的闭环传递函数为,此时误差信号的z变换为,系统经过3拍便可以完全跟踪上输入信号。,（8-114）,（8-115）,109,3 .当 时 最少拍无差系统的闭,例8-18,已知采样系统的结构如图所示，其中，采样周期 s， ，试设计,使该系统在单位阶跃信号作用下为最少拍无差系统。,图8-24 最少拍无差系统,110,例8-18 已知采样系统的结构如图所示，其中，采样周期,解：,将上式求z逆变换可得输出序列,111,解：将上式求z逆变换可得输出序列 111,本章主要知识点与主要线索,稳态误差,根轨迹,开环脉冲,传递函数,闭环零、极点,系统稳定性、品质,系统型别,(稳定系统),劳思,判据,双线性,变换,终值定理,特征式,D(z),稳定性,一定条件下,长除法,部分分式分解,求留数,朱利判据,闭环零、极点,稳定性,平稳性、,快速性,112,本章主要知识点与主要线索 稳态误差根轨迹开环脉冲闭环零、极点,