单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,高阶微分方程 习题课,高阶微分方程 习题课,1,一、主要内容,高阶方程,可降阶方程,线性方程解的结构,二阶常系数线性,方程解的结构,特征根法,特征方程的根,及其对应项,待定系数法,f(x),的形式及其,特解形式,一、主要内容高阶方程可降阶方程线性方程解的结构二阶常系数线性,2,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,全微分方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非全微分方程,非变量可分离,幂级数解法,降阶,作变换,作变换,积分因子,微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法全微分方程常数变易,3,1,、可降阶的高阶微分方程的解法,型,解法,接连积分,n,次，得通解,型,特点,解法,代入原方程,得,1、可降阶的高阶微分方程的解法 型解法接连积分n次，得通解,4,型,特点,解法,代入原方程,得,2,、线性微分方程解的结构,（,1,）二阶齐次方程解的结构,:,型特点解法代入原方程,得2、线性微分方程解的结构（1）,5,（,2,）二阶非齐次线性方程的解的结构,:,非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解,非齐通解,=,齐通解,+,非齐特解,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:非齐方程的任两解之差是相,6,3,、二阶常系数齐次线性方程解法,n,阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为,特征方程法,.,3、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系,7,特征方程为,特征方程为,8,推广：,阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,推广：阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中,9,4,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法,待定系数法,.,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程,10,二、典型例题,二、典型例题,11,例,1,解,代入方程，得,故方程的通解为,例1解代入方程，得故方程的通解为,12,例,2,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,例2解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为,13,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,原方程的一个特解为故原方程的通解为,14,由,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,由解得所以原方程满足初始条件的特解为,15,例,3,设二阶非齐次线性方程的三个特解为,求其通解,解,由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解,故,是齐方程的两个解,齐通解,且线性无关,非齐通解,例3 设二阶非齐次线性方程的三个特解为求其通解解 由,16,例,4,设,f,(,x,),具有连续的二阶导数试确定,f,(,x,),使曲线积分,与路径无关,解,由曲线积分与路径无关的条件得,即,这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程,齐通解,例4 设 f(x)具有连续的二阶导数试确定f(x),17,常微分方程11习题课课件,18,例,5,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原方程的特解为,例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为,19,由,解得,由解得,20,由,即,故原方程的通解为,由即故原方程的通解为,21,例,6,解,（）由题设可得：,解此方程组，得,例6解（）由题设可得：解此方程组，得,22,（）原方程为,由解的结构定理得方程的通解为,（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为,23,测 验 题,测 验 题,24,常微分方程11习题课课件,25,常微分方程11习题课课件,26,常微分方程11习题课课件,27,常微分方程11习题课课件,28,常微分方程11习题课课件,29,常微分方程11习题课课件,30,常微分方程11习题课课件,31,测验题答案,测验题答案,32,常微分方程11习题课课件,33,