单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,小结与复习,第,1,章 直角三角形,八年级数学下（,XJ,）,教学课件,要点梳理考点讲练课堂小结课后作业小结与复习第1章 直角三角,直角三角形的性质定理,1,直角三角形的两个锐角,_.,互余,直角三角形的判定定理,1,有两个角,_,的三角形是直角三角形,.,互余,一、直角三角形的性质与判定,要点梳理,直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角_.互,直角三角形的重要推论,1.,直角三角形斜边上的中线等于斜边的,_.,一半,2.,在直角三角形中，如果一个锐角等于,30,，那么它所对的直角边等于斜边的,_.,一半,3.,在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于,_.,30,直角三角形的重要推论 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_,1.,如果直角三角形两直角边分别为,a,，,b,，斜边,为,c,，那么,a,2,+b,2,=c,2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,.,在,直角三角形,中才可以运用,2.,勾股定理的应用条件,二、勾股定理,3.,勾股定理表达式的常见变形：,a,2,c,2,b,2,b,2,c,2,a,2,，,A,B,C,c,a,b,1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边a2+b2,三、勾股定理的逆定理,1.,勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长,a,，,b,，,c,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,，,那么这个三角形是直角三角形,.,满足,a,2,+,b,2,=,c,2,的三个正整数，称为勾股数,.,2.,勾股数,A,B,C,c,a,b,三、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三,斜边,和,一条直角边,对应相等的两个直角三角形全等,.,简写成“,斜边、直角边,”或“,HL,”.,A,B,C,D,E,F,注意：,对应,相等,.,“,HL”,仅适用直角三角形,书写格式应为,:,在,Rt,ABC,和,Rt,DEF,中，,AB,=,DE,，,AC,=,DF,，,Rt,ABC,Rt,DEF,(HL),四、直角三角形全等的判定,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.AB,角的平分线的,性质,P,C,P,C,OP,平分,AOB,PDOA,于,D,PEOB,于,E,PD=PE,OP,平分,AOB,PD=PE,PDOA,于,D,PEOB,于,E,角的平分线的,判定,五、,角平分线的性质与判定,角的平分线的性质PCPCOP平分AOBPDOA于DPE,考点一 直角三角形的性质与判定,例,1,：,如图，ABDF，ACBC于C，CB的延长线与DF交于点E，若A20，则CEF等于(),A110 B100 C80 D70,【,分析,】,ACBC于C，ABC是直角三角形，,ABC90A902070，ABC170，,ABDF，,1CEF180，,即CEF180118070110.,考点讲练,A,考点一 直角三角形的性质与判定 例1：如图，ABDF，,例,2,如图，在ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上若DE=DF，AD=2，BC=6，求四边形AEDF的周长,解：点E，F分别是边AB，AC的中点，,AE=BE=AB，AF=CF=AC，,AB=AC，AE=AF，,在ADE和ADF中，,ADEADF（SSS），,DAE=DAF，即AD平分BAC，,例2 如图，在ABC中，AB=AC，点E，F分别是边AB,BD=CD=BC=3，ADBC，,ADB=ADC=90，,在RtABD和RtACD中，E，F分别是边AB，AC的中点，,DE=AB，DF=AC，,AE=AF=DE=DF，,四边形AEDF的周长=4AE=2AB=,BD=CD=BC=3，ADBC，,1.,等腰三角形的一个底角为,75,，腰长,4cm,，那么腰上的高是,_cm,，这个三角形的面积是,_cm,2,.,2,4,针对训练,1.等腰三角形的一个底角为75，腰长4cm，那么腰上的高是,例,3,在,ABC,中，已知,BD,是高，,B90，A、B、C,的对边分别是,a、b、c,，且,a,3，,b,4，,求,BD,的长,解：,B90,，b是斜边，,则在,Rt,ABC,中，由勾股定理，得,又,S,ABC,b,BD,ac,，,考点二 勾股定理,例3 在ABC中，已知BD是高，B90，A、,在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数,3,，,4,，,5,的干扰,方法总结,2,已知一个直角三角形的两边长分别为,3,和,4,，则第三边长的平方是（）,A.25 B.14 C.7 D.7,或,25,针对训练,D,在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理,解：由折叠知：,DADB，ACD,为直角三角形,在,RtACD,中,，AC,2,CD,2,AD,2,，,设,CD,x,cm，,则,ADBD(8,x,)cm，,代入,式，得,6,2,x,2,(8,x,),2,，,化简，得,366416,x,，,所以,x,1.75，,即,CD,的长为,1.75 cm.,3.,如图，有一张直角三角形纸片，两直角边,AC,6 cm,，,BC,8 cm,，,将,ABC,折叠，使点,B,与点,A,重合，折痕是,DE,，求,CD,的长,解：由折叠知：DADB，ACD为直角三角形3.如图，有,例,4,已知在,ABC,中，,A，B，C,的对边分别是,a,，,b,，,c,，,a,n,2,1，,b,2,n,，,c,n,2,1(,n,1)，,判断,ABC,是否为直角三角形,考点三 勾股定理的逆定理,解：由于,a,2,b,2,(,n,2,1),2,(2,n,),2,n,4,2n,2,1，,c,2,(n,2,1),2,n,4,2n,2,1，,从而,a,2,b,2,c,2,，,故可以判定,ABC,是直角三角形,例4 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b,运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大；,分别用代数方法计算出,a,2,b,2,和,c,2,的值(,c,边最大)；判断,a,2,b,2,和,c,2,是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形,方法总结,运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的,4,.,已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有,_,针对训练,(2)(4),4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定,5.,B,港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东,60,方向以每小时,8 n mile,的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时,15 n mile,的速度前进，,2 h,后，甲船到,M,岛，乙船到,P,岛，两岛相距,34 n mile,，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？,解：甲船航行的距离为,BM,=16,（,n mile,）,乙船航行的距离为,BP,=30,（,n mile,）,16,2,+30,2,=1156,，,34,2,=1156,BM,2,+,BP,2,=,MP,2,MBP,为直角三角形，,MBP,=90,乙船是沿着南偏东,30,方向航行的,5.B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小,6.,如图，在四边形,ABCD,中，,AB,=20cm，,BC,=15cm，,CD,=7cm，,AD,=24cm，,ABC,=90猜想,A,与,C,关系并加以证明,解：猜想,A,+,C,=180,连接,AC,.,ABC,=90，,在Rt,ABC,中，由勾股定理得,AC,=25cm，,AD,2,+,DC,2,=625=25,2,=,AC,2,，,ADC,是直角三角形，且,D,=90，,DAB,+,B,+,BCD,+,D,=180，,DAB,+,BCD,=180，,即,A,+,C,=180,6.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm,考点四 直角三角形全等的判定,例,5,如图，两根长均为,12,米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？,A,B,C,D,【,分析,】,将本题中的实际问题转化为数学问题就是确定,BD,是否等于,CD,.,由已知条件可知,AB,=,AC,，,AD,BC,.,考点四 直角三角形全等的判定例5 如图，两根长均为1,A,B,C,D,解：相等，理由如下：,AD,BC,，,ADB,=,ADC,=90.,在,Rt,ADB,和,Rt,ADC,中，,AD=AD,，,AB=AC,，,Rt,ADB,Rt,ADC,(HL).,BD=CD,.,ABCD解：相等，理由如下：ADBC，ADB=AD,例,6,如图，在,ABC,中，,EB=FC,，且,BD=CD,DE,AB,DF,AC,.,垂足分别为,E,F,.,求证：,AD,是,ABC,的,角平分线,.,A,B,C,D,E,F,【,分析,】,先利用“,HL,”,证明,Rt,BDE,Rt,CDF,，从而得到,DE=DF,，再利用角平分线的判定定理证明,AD,是,ABC,的角平分线,.,考点五 角平分线的性质与判定,例6 如图，在ABC中，EB=FC，且BD=CD,D,A,B,C,D,E,F,在,Rt,BDE,和,Rt,CDF,中，,EB=FC,，,BD=C,D,，,Rt,BDE,Rt,CDF,(,HL,).,DE=DF,.,DE,AB,DF,AC,，,AD,是,ABC,的角平分线,.,证明：,ABCDEF在RtBDE 和 RtCDF中，EB=FC，,例,7,如图,1=2,点,P,为,BN,上的一点，,PCB,+,BAP,=180,，,求证,:,PA=PC,.,B,A,C,N,),),1,2,P,【,分析,】,由角平分线的性质易想到过点,P,向,ABC,的两边作垂线段,PE,、,PF,，,构造角平分线的基本图形,.,E,F,例7 如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+,证明：过点,P,作,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F,.,B,A,C,N,),),1,2,P,E,F,1=2,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F,.,PE=PF,PEA,=,PFC,=90.,PCB,+,BAP,=180,又,BAP,+,EAP,=180.,EAP,=,PCB.,在,APE,和,CPF,中，,PEA,=,PFC,=90,，,EAP,=,FC,P,，,PE=PF,，,APE,CPF,(AAS),，,AP=CP,.,证明：过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.BA,【,证法,2,思路分析,】,由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形,.,方法是在,BC,上截取,BD=AB,连接,PD,（,如图,）,.,则有,PAB,PDB,再证,PDC,是等腰三角形即可获证,.,A,C,N,),),1,2,P,B,证明过程请同学们自行完成！,D,【,归纳拓展,】,角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法,.,应用时要依托全等三角形发挥作用,.,作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形,.,【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的,7.,如图,1=2,点,P,为,BN,上的一点，,PA=PC,，求证,:,PCB,+,BAP,=180,.,B,A,C,N,),),1,2,P,E,F,【,证明,】,过点,P,作,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F.,1=2,PE,BA,PF,BC,垂足分别为,E,F,.,PE=PF,PEA,=,PFC,=90.,PA=PC,，,PE=PF,，,在,Rt,APE,和,Rt,CPF,中，,Rt,PAE,Rt,PCF,(HL).,针对训