单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,空间直角坐标变换与点变换,（,Rectangular coordinate transformation,in space and point transformation,）,一切事物都在不停地运动和变化着,因此,了解图形在运动与变化中的情况是很重要的,.,在日常生活和生产实践中,经常遇到物体改变位置和形状的现象,.,开门、搬凳子就是改变物体的位置,.,阳光通过长方形窗格射到地上,其影像是平行四边形,.,弹性体在外力作用下的主要表现是变形,.,在本章中,主要讨论图形变位和变形这两种比较简单的情况,.,在变形的讨论中,坐标法也是基本的方法,首先是如何用数量关系来表示变形,;,其次是区别图形的性质,有哪些在变形中是不变的,有哪些是要改变的,.,空间直角坐标变换与点变换（Rectangular coor,1,5.1,空间直角坐标变换,(Rectangular coordinate transformation,in space),在用坐标法讨论变形的时候,首要的问题常常是选取一个适当的坐标系来化简问题,并且常常需要把一个坐标系中的结果转化到另一个坐标系中去,.,要解决这个问题,最基本的是求出同一个点在两个不同的坐标系中的坐标变换式,.,设在空间给出了,两个右手直角坐标系,O-xyz,与,O-xyz,i,j,k,和,i,j,k,是,两组坐标基向量,它们是空间中的两组标准正交基,.,前一个称为,旧坐标系,后一个坐标系称为,新坐标系,.,它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标,以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定,.,下面先讨论直角坐标系的移轴和转轴,(,也称为平移和旋转,),然后通过移轴和转轴给出直角坐标变换的一般公式,.,5.1 空间直角坐标变换(Rectangular co,2,5.1.1,移轴变换,(Axis transformation),设坐标系,O-xyz,与,O-xy z,的原点,O,与,O,不同,O,在旧坐标系下的坐标为,(,x,0,y,0,z,0,),但是坐标向量相同,i,=,i,j,=,j,k,=,k,(,图,5-1),这时新坐标系可以看成由,O,-,xyz,平移到使,O,与,O,重合而得来,这种情况下的坐标变换称为,移轴,.,5.1.1 移轴变换(Axis transformat,3,现在推导,移轴变换公式,.,设,P,为空间任意一点,它在,O-xyz,与,O-xy z,下的坐标分别是,(,x,y,z,),与,(,x,y,z,),现在推导移轴变换公式.设P为空间任意一点,它在O-xyz与O,4,利用向量相等则对应坐标相等,这就是空间直角坐标系的,移轴公式,.,从,(5.1-1),解出,(,x,y,z,),，就得到移轴的,逆变换公式,利用向量相等则对应坐标相等,5,例1,利用移轴化简曲面方程 从而判别该方程代表的曲面.,解,利用配方,将方程左边变为,=,化简,得,作移轴,即将坐标原点移到点,O,(2,-1,0),曲面方程为,可见它是椭球面.,例1 利用移轴化简曲面方程,6,5.1.2,转轴变换,(Rotation transformation),设两个右手坐标系,O,-,xyz,与,O,-,x y z,的原点相同,但坐标向量,i,j,k,与,i,j,k,不同,这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转,使得,i,j,k,分别与,i,j,k,重合得到的,这种情况下的坐标变换称为,转轴,.,5.1.2 转轴变换(Rotation transfo,7,下面推导,转轴变换公式,.,具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的夹角来决定,列表如下：,表,5-1,新、旧坐标系之间的夹角,x,轴,(,i,),y,轴,(,j,),z,轴,(,k,),x,轴,(,i,),1,1,1,y,轴,(,j,),2,2,2,z,轴,(,k,),3,3,3,下面推导转轴变换公式.具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完,8,由于,i,j,k,都是单位向量,其坐标为它的,3,个方向余弦,.,故从表,5-1,可知,设空间任意一点,P,它的旧坐标为,(,x,y,z,),在新坐标系内的坐标为,(,x,y,z,),那么有,由于,O,=,O,由上面两式得,:,由于i,j,k都是单位向量,其坐标为它的3,9,将,i,j,k,代入得,于是有,这就是空间直角坐标变换的,转轴公式,.转轴的,逆变换公式,为：,将i,j,k代入得于是有,10,例2,试求空间直角坐标系,O-xyz,绕,z,轴旋转的直角坐标变换公式.,解,设新的坐标向量为,i,j,k,显然,k,=,k,.另外绕,z,轴旋转时,应符合,右手螺旋准则,有,i,=,i,cos,+,j,sin,=,(cos,sin,0),j,=,-,i,sin,+,j,cos,=,(-sin,cos,0).,于是坐标变换公式(注意行变列)为,上式的前两式实际上是在,xy,平面内的旋转公式.,例2 试求空间直角坐标系O-xyz绕z轴旋转的直角坐标变换公,11,5.1.3 正交条件,(Orthogonal,condition),转轴变换公式(5.1-3)与其逆变换公式(5.1-4)都是齐次线性变换,它们的一次项系数不是独立的,这是因为,i,j,k,与,i,j,k,是两组,相互垂直的单位向量,它们的坐标要满足一定的条件，由于,5.1.3 正交条件(Orthogonal conditi,12,所以变换公式,(5.1-3),与逆变换公式,(5.1-5),的,一次项系数,分别满足下列条件：,所以变换公式(5.1-3)与逆变换公式(5.1-5)的一次,13,又因为,(,i,j,k,)=(,i,j,k,)=1,可得转轴变换,(5.1-3),与,(5.1-4),的,系数行列式,又因为(i,j,k)=(i,j,k)=1,可得转轴变,14,条件,(5.1.5),(5.1.6),(5.1.7),称为直角坐标变换的正交条件,.,根据代数学知识可知，转轴变换及其逆变换的系数矩阵,是,正交矩阵,，而且,AA,-1,=,AA,T,=,E,.,条件(5.1.5),(5.1.6),(5.1.7)称为直角坐,15,例3,证明在空间任意的转轴(5.1-3)下,多项式,x,2,+,y,2,+,z,2,变为,x,2,+,y,2,+,z,2,.,证明,将(5.1-3)代入,x,2,+,y,2,+,z,2,整理得,根据正交条件(5.1-6)得,x,2,+,y,2,+,z,2,.,例3 证明在空间任意的转轴(5.1-3)下,多项式 x2+,16,5.1.4,一般坐标变换公式,(,General coordinate transformation),在空间给出了由坐标系,O-xyz,决定的旧坐标系由,O-xyz,决定的新坐标系,且,O,在旧坐标系的坐标为,(,x,0,y,0,z,0,),.两坐标系的坐标轴之间的夹角由表格5-1决定,在一般情况下,由旧坐标系变换到新坐标系分两步来完成,可以先移轴使原点,O,与坐标系的原点,O,重合,变成辅助坐标系,O-xyz,然后再由辅助坐标系经转轴变到新坐标系.,5.1.4一般坐标变换公式(General coordi,17,设P点为空间任意一点,它在旧坐标系、新坐标系与辅助坐标系下的坐标分别为(,x,y,z,),(,x,y,z,)与(,x,y,z,),根据(5.1-1)与(5.1-3)有,设P点为空间任意一点,它在旧坐标系、新坐标系与辅助,18,将转轴公式代入移轴公式,得空间,直角坐标变换的一般公式,为,一般坐标变换公式也可以通过先转轴后移轴得到,其结果仍然是,(5.1-8).,一般坐标变换公式,(5.1-8),的系数行列式不为零,因此从,(5.1-8),解出,x,y,z,得到用旧坐标表示新坐标的变换公式,也就是,(5.1-8),的,逆变换公式,：,将转轴公式代入移轴公式,得空间直角坐标变换的一般公式为,19,一,般坐标变换(5.1-8)与其逆变换(5.1-9)的的右端分别是,x,y,z,与,x,y,z,的一次(即线性的)多项式,它们的一次项系数分别满足,正交条件,系数行列式值都等于1.,一般坐标变换(5.1-8)与其逆变换(5,20,有时,也将,一般坐标变换,公式(5.1.8)写成下面的形式,其中一次项系数满足,正交条件,.,有时,也将一般坐标变换公式(5.1.8)写成下面的形式其中一,21,例4,将坐标系绕方向(1,1,1),右旋,/3,原点不动,求坐标变换公式.,解,原点不动,故,x,0,=,y,0,=,z,0,=0,坐标变换是转轴变换.,设所求的坐标变换公式为,设旋转后,i,(cos,1,cos,1,cos,1,),j,(cos,2,cos,2,cos,2,),k,(cos,3,cos,2,cos,3,).,例4 将坐标系绕方向(1,1,1)右旋/3,原点不动,22,先求,i,的三个坐标,(cos,1,cos,1,cos,1,).,它的坐标是它的,方向余弦,因此先求,i,与三个坐标轴的夹角的余弦,.,当原点不动,坐标系绕方向(1,1,1),右旋,/3时(应符合,右手螺旋准则,),i,和三个坐标轴的关系如下：,1)与,i,j,夹角相等,即,cos,1,=cos,1,而且是锐角;,2),i,与,k,在平面上的投影成角,夹角为,钝角,而且单位向量,i,与,k,在方向(1,1,1)上的,投影相等,等于,1/,3,由三角形余弦公式,有,1,2,+1,2,+2 cos,1,=(1,2,-1/3)=2/3,于是,得,cos,1,=-1/3.,先求 i 的三个坐标(cos 1,c,23,再由,cos,1,2,+cos,1,2,+cos,1,2,=1,，,得,cos,1,=cos,1,=2/3.,即,(cos,1,cos,1,cos,1,)=(2/3,2/3,-1/3).,类似,(cos,2,cos,2,cos,2,)=(-1/3,2/3,2/3),(cos,3,cos,3,cos,3,)=(2/3,-1/3,2/3).,代入公式,(,注意行变列,),，得所求的坐标变换为,再由 cos 12+cos12+,24,5.1.5,向量的坐标变换,(,Coordinate transformation,of vector),把向量的坐标看作终点的坐标减去起点的坐标,立刻可以得到向量的坐标变换公式为,其中,(,u,v,w,),和,(,u,v,w,),分别是同一个向量的新、旧两组坐标,.,公式中没有常数项,反映了,向量经过平移不变,其系数也满足,正交条件,.,5.1.5 向量的坐标变换(Coordinate tr,25,5.1.6,以三垂直平面为新坐标系坐标平面的坐标变换,Coordinate transformation,of,空间一般坐标变换公式,还可以由新坐标系的三个坐标面来确定,.,设有两两相互垂直的三个平面,这里,.,如果取,1,为,yz,平面,2,为,xz,平面,平面,3,为,xy,平面,并设空间任意一点,P,(,x,y,z,),到平面,i,(,i,=1,2,3),的距离为,d,i,5.1.6 以三垂直平面为新坐标系坐标平面的坐标变换 Co,26,P,点的新坐标为,(,x,y,z,),那么有,去掉绝对值号得坐标变换公式为,显然,上式符合正交条件,为了使坐标变换为右手系变到右手系,上式中的正负号的选择必须使它的系数行列式的值为,1.,P点的新坐标为(x,y,z),那么有,27,例,5,以下列三个两两相互垂直的平面,分别作为新坐标系的,yz,平面,xz,面与,xy,面的坐标变换公式为：,例5 以下列三个两两相互垂直的平面,28,为了使右手系变成右手系,取符号如下：,为了使右手系变成右手系,取符号如下：,29,例6,试将方,程,用适当的坐标变换变为新方程,x,=0,.,解,取平面,作为新坐标系的,yz,坐标面,再任取两个相互垂直且又都垂直于已知平面,的平面作为另两个新坐标面,例如可取,与,例6 试将方程,30,作