单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,曲线积分与曲面积分,前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的中心内容，此外还要介绍 Green 公式、Gauss公式 和 Stokes 公式，这些公式揭示了存在于各种积分之间的某种联系。,.,重点,第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法,Green公式、Gauss 公式,曲线积分与路径无关的条件,难点,第二型曲面积分的计算,基本要求,正确理解曲线积分和曲面积分概念,熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法,.,掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、性质、计算方法上的异同,掌握第二型曲线积分与路径无关的条件,牢固掌握Green公式及其成立条件,牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件,.,对弧长的曲线积分及其计算,一、问题的提出,实例:,曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,近似值,取极限,精确值,.,二、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,.,积分弧段,被积函数,积分和式,曲线形构件的质量,.,2.存在条件：,3.推广,.,注意：,4.性质,.,三、对弧长曲线积分的计算,定理,.,注意:,特殊情形,.,推广:,一代、二换、三定限,代,：将积分曲线的参数方程代入被积函数，,换,：换弧微元,定限,：定积分限，下限小参数，上限大参数,.,例1。计算,其中L为,在第二象限的部分,解一,将L表示为,.,解二,将L表示为,解三,将L表示为参数方程,.,例2,解,.,例3,解,.,例4,解,例5,.,解,由对称性,知,注,关于对弧长的曲线积分的对称性,若 L 关于,y,轴对称,.,其中L,1,是L 的关于,y,轴对称的部分弧段,若L关于,x,轴对称,其中L,2,是L 的关于,x,轴对称的部分弧段,.,若 L 关于 原点 对称,其中 L,3,是 L 的对称的部分弧段,若 L 关于直线,y,=,x,对称,与重积分的对称性十分类似,.,四、几何与物理意义,.,.,.,五、小结,1、对弧长曲线积分的概念,2、对弧长曲线积分的计算,3、对弧长曲线积分的应用,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？,.,思考题解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,.,练习题,.,.,练习题答案,.,