单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2.2,平面向量的线性运算,2.2.1,向量加法运算及其几何意义,全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）,2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何,1,问题提出,1.,向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？,2.,用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？,问题提出1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用,2,3.,两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵,.,如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的,.,我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则,.,3.两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留,3,向量加法运算,及其几何意义,向量加法运算,4,探究一：向量加法的几何运算法则,思考,1,：,如图，某人从点,A,到点,B,，再从点,B,按原方向到点,C,，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？,A B,C,思考,2,：,如图，某人从点,A,到点,B,，再从点,B,按反方向到点,C,，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？,A B,C,探究一：向量加法的几何运算法则 思考1：如图，某人从点A到点,5,思考,3,：,如图，某人从点,A,到点,B,，再从点,B,改变方向到点,C,，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？,A,B,C,思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两,6,思考,4,：,上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量,.,一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的,加法,.,上述求两个向量和的方法，称为向量加法的,三角形法则,.,对于下列两个向量,a,与,b,，如何用三角形法则求其和向量？,a,C,a,b,A,B,a,思考4：上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是,7,思考,5,：,图,1,表示橡皮条在两个力,F,1,和,F,2,的作用下，沿,MC,方向伸长了,EO,；图,2,表示橡皮条在一个力,F,的作用下，沿相同方向伸长了相同长度,.,从力学的观点分析，力,F,与,F,1,、,F,2,之间的关系如何？,M,C,E,O,F,1,F,2,图,1,M,E,O,F,图,2,F=F,1,+F,2,F,2,F,1,F,思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向,8,C,O,A,B,思考,6,：,人在河中游泳，人的游速为 水流速度为 ，那么人在水中的实际速度 与 、之间的关系如何？,COAB思考6：人在河中游泳，人的游速为 水流速度为,9,思考,7,：,上述求两个向量和的方法，称为向量加法的,平行四边形法则,.,对于下列两个向量,a,与,b,，如何用平行四边形法则求其和向量？,a,B,a,b,A,a,O,C,思考7：上述求两个向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则,10,思考,8,：,用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，其作图特点分别如何？,三角形法则：首尾相接连端点；,平行四边形法则：起点相同连对角,.,思考8：用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，其,11,思考,1,：,零向量,0,与任一向量,a,可以相加吗？,探究二：向量加法的代数运算性质,规定：,a,0=0,a,=,a,，,思考,2,：,若向量,a,与,b,为相反向量，则,a,b,等于什么？反之成立吗？,思考,3,：,若向量,a,与,b,同向，则向量,a,b,的方向如何？若向量,a,与,b,反向，则向量,a,b,的方向如何？,a,与,b,为相反向量,a,b=,0,思考1：零向量0与任一向量a可以相加吗？探究二：向量加法的,12,思考,4,：,考察下列各图，,|,a,b,|,与,|,a,|,|,b,|,的大小关系如何？,|,a,b,|,与,|,a,|,|,b,|,的大小关系如何？,A,B,C,a,b,a,a,a,b,a,a,b,|,a,b,|,a,|,|,b,|,，当且仅当,a,与,b,同向时取等号；,|,a,b,|,a,|,|,b,|,，当且仅当,a,与,b,反向时取等号,.,思考4：考察下列各图，|ab|与|a|b|的大小关系如,13,思考,5,：,实数的加法运算满足交换律，即对任意,a,，,bR,，都有,a,b=b,a.,那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？,B,a,b,a,C,A,a,O,a,b,b,a,思考5：实数的加法运算满足交换律，即对任意a，bR，都有a,14,思考,6,：,实数的加法运算满足结合律，即对任意,a,，,b,，,cR,，都有（,a,b,）,c=a,（,b,c,）,.,那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？,a+b+c,a,b,C,c,B,A,a,O,（,a,b,）,c,a,（,b,c,）,思考6：实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，cR，都,15,思考,7,：,等于什么向量？,等于什么向量？,思考7：,16,理论迁移,例,长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输,.,如图所示，一艘船从长江南岸,A,点出发，以,5km/h,的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东,2km/h.,（,1,）使用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；,（,2,）求船实际航行速度的大小与方向,.,A,D,A,B,C,理论迁移 例 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运,17,小结作业,1.,向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的物理模型,.,2.,任意多个向量可以相加，并可以按任意次序、组合进行,.,若平移这些向量使其首尾相接，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，即为这些向量的和,.,小结作业1.向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则,18,3.,两个向量的和的模不大于这两个向量的模的和，这是一个不等式性质，解题中具有一定的功能作用,3.两个向量的和的模不大于这两个向量的模的和，这是一个不等式,19,