单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一 复习引入,已知两个非零向量,作,则 叫做向量 的夹角,.,已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把 叫做向量 的数量积,记做,即,=.,1,向量的夹角,:,O,A,B,2,平面向量数量积,:,3,平面向量数量积的性质,4,平面向量数量积的运算律,（交换律）,(数乘结合律）,（分配律）,二、新课,因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即,空间任意两个向量共面,.,因此，,平面,中两个向量的夹角及数量积等相关概念、性质可以推广到,空间,.,1),两个向量的夹角的定义,:,O,A,B,知 新,类似地，可以定义空间向量的,数量积,两个向量的夹角是惟一确定的！,2,）两个向量的数量积,注,:,两个向量的数量积是数量，而不是向量,;,规定,:,零向量与任意向量的数量积等于零,.,A,1,B,1,B,A,A,1,B,1,B,A,数量积 等于 的长度 与 在,的方向上的投影 的乘积,.,3),空间两个向量的数量积性质,注：,性质是证明两向量垂直的依据；,性质,是求向量的长度（模）的依据,.,4),空间向量的数量积满足的运算律,注：,向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。,思考,1.,如,果不能，请举出反例,能,得到,吗？,由,对于三个均不为,0,的,数,a,b,c,若,ab,=,ac,则,b,=,c,.,对于向量,.,不能，例如向量 与向量 都垂直时，有 而未必有,思考,2.,对于三个均不为,0,的数,若 则,对于向量 若 能否,写成 也就是说,向量有除法吗？,思考,3.,对于三个均不为,0,的数,对于向量,成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？,课堂练习,A,D,F,C,B,E,3.,解：,P92,.2,.,已知线段、在平面 内，线段,如果，求、之间的距离,.,解：,P92,.3,练习,：1,、已知棱长为1的正三棱锥O-ABC，E，F分别是AB，OC的中点，试求 所成角的余弦值.,O,A,B,C,E,F,P92.1,.,如图，在三棱柱 中，若,则 所成角的大小 为多少？,D,小 结：,通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：,1、证明两直线垂直;,2、求两点之间的距离或线段长度;,3、证明线面垂直;,4、求两直线所成角的余弦值等等,.,再见！,再见！,再见！,空间向量的数量积运算,第二课时,证明：,如图,已知,:,求证：,在直线,l,上取向量,只要证,为,逆命题成立吗,?,分析,:,同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析,.,分析：要证明一条直线与一个平面,垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的,任意一条直线,都垂直,.,例,3,(,试用,向量方法证明直线与平面垂直的判定定理,),已知直线,m,n,是平面 内的两条相交直线,如果 ,m,n,求证,:,.,m,n,g,取已知平面内的任一条直线,g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件,?,要证的目标可以转化为向量的什么目标,?,怎样建立向量的条件与向量的目标的联系,?,共面向量定理,有了,!,m,n,g,证,:,在 内作不与,m,n,重合的任一直线,g,在,上取非零向量 因,m,与,n,相交,故向量,m,n,不平行,由共面向量定理,存在唯一实数,使,练习,证明：因为,所以,同理，,