单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.5 机械系统共振分析,机械系统的共振频率，指的是系统当输入为正弦函数时，系统发生共振的频率。,共振时幅值理论上为无穷大，但因幅度超过一定值，原先线性系统模型不再成立，因此实际共振时幅值不会真的为无穷大，而且幅值超过某个值，系统会断裂失效造成永久损坏。,共振频率一般用线性系统模型计算,。,假设机械系统的运动微分方程模型为：,X为系统状态变量，为一向量。,U(t),为输入,那么可证明，共振频率即为以下特征方程的虚根。,I,为单位矩阵,共振现象在刚性条件下不发生。,如以下图系统，在刚性条件下运动微分方程为：,无论如何都求不出特征频率,现在计及杆扭转变形，其弹性势能为：,扭转弹性势能为：,丝杆转动动能，转速以螺母处的转速计算,于是系统微分方程为：,得到：,行3*Z+行1，行4*Z+行2，得到：,虚根为：,一般轴只有在高速转动时才需要考虑共振现象。,如果考虑其他弹性变形，那么可得到该弹性变形对应的共振频率，也就是说同一个机械系统特征频率可以有很多个，其中数值最小的特征频率称为主特征频率。,所以系统的共振频率为：,根据：,思考1：光杆共振频率分析,非系统状态,虚根：,思考2：主谐振频率分析,齿轮1轴和丝杆有扭转弹性变形,行4*s+行1，行5*s+行2，行6*s+行3得到：,只考虑丝杆扭转弹性时，特征频率为：,与上述方程对应的虚根不同。,令：,原方程变为：,思考题3,如以下图所示的机械机构，由直流电机1、减速器2、工作平台3、丝杆4以及轴承等组成，电机和电机轴、以及与它联结的齿轮的转动惯量为J1，丝杆以及与它连接的齿轮转动惯量为J2，工作平台以及丝杆螺母结构的质量为m，丝杆导程为h，水平作用于工作平台的负载载荷为F，电机的驱动力矩为M，电机轴与丝杆的转速比为i,如果忽略轴承等部件以及零件之间的摩擦力，现求：,1等效到电机轴上的等效转动惯量、等效到电机轴上等效负载力矩,2等效到工作平台的等效质量、等效到工作平台的电机驱动力,3以电机轴转角为变量的系统运动微分方程,4以工作平台移动距离为变量的系统运动微分方程,等效质量或等效转动惯量教材上介绍的求解方法适用范围有限：,假设系统第i个构件质量为mi,以质心为原点，以转轴为Z轴的转动惯量为Ji，质心速度为Vi,那么系统动能K为,根据：,动能与位置相关如：发动机活塞速度与曲轴转速、转角都相关,广义速度,q对应的,等效质量或等效转动惯量为：,只有在各速度Vi与速度q成正比例条件下教材上的公式才成立，否那么必须按拉格朗日力学方法列出运动微分方程。,同样，教材上介绍的等效力与等效力矩的求解方法适用范围也很有限，比方将发动机活塞上受的气体压力等效为曲轴上的力矩，就不能按教材上方法求解，而必须按微功概念进行求解。,y1,所以气体压力等效到曲轴上的等效力矩为：,例：,思考题4：,O,A,B,C,F,微功：,因为：,所以：,提示：,