单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.1,函数的单调性与导数,1.3.1 函数的单调性与导数,1,（,4,）,.,对数函数的导数,:,（,5,）,.,指数函数的导数,:,（,3,）,.,三角函数,：,（,1,）,.,常函数：,(,C,),/,0,(,c,为常数,),；,（,2,）,.,幂函数：,(,x,n,),/,nx,n,1,一、复习回顾：基本初等函数的导数公式,（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:,2,函数,y=f(x),在给定区间,G,上，当,x,1,、,x,2,G,且,x,1,x,2,时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b,1,）都有,f(x,1,),f(x,2,),，,则,f(x),在,G,上是增函数,；,2,）都有,f(x,1,),f(x,2,),，,则,f(x),在,G,上是减函数,；,若,f(x),在,G,上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则,f(x),在,G,上具有严格的单调性。,G,称为,单调区间,G=(a,b),二、复习引入,:,函数 y=f(x)在给定区间 G 上，当 x 1、x,3,o,y,x,y,o,x,1,o,y,x,1,在,（，,0,）和（,0,）,上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在（，,1,）上是减函数，在（,1,）上是增函数。,在,(,),上是增函数,概念回顾,画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间,oyxyox1oyx1在（，0）和（0,）在（,4,(1),函数的单调性也叫函数的增减性；,(2),函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。,(3),单调区间：针对自变量,x,而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增,区,间；,若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对,5,高台跳水运动员的高度,h,随时间,t,变化的函数,高台跳水运动员的速度,v,随时间,t,变化的函数,运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别,?,高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数,6,观,察,:,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,(1),(2),观aabbttvhOO(1)(2),7,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,y=x,y=x,2,y=x,3,观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系,.,xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3,8,在某个区间,(,a,b,),内,如果,那么函数 在这个区间内单调递增,;,如果,那么函数 在这个区间内单调递减,.,如果恒有 ，则 是常数函数。,在某个区间(a,b)内,如果 ,那么,9,题,1,已知导函数 的下列信息,:,当,1,x,4,或,x,1,时,当,x,=4,或,x,=1,时,试画出函数 的图象的大致形状,.,题1 已知导函数 的下列信息:当1,10,题,1,已知导函数 的下列信息,:,当,1,x,4,或,x,1,时,当,x,=4,或,x,=1,时,试画出函数 的图象的大致形状,.,解,:,当,1,x,4,或,x,1,时,可知 在此区间内单调递减,;,当,x,=,4,或,x,=,1,时,综上,函数 图象的大致形状如右图所示,.,x,y,O,1,4,题1 已知导函数 的下列信息:当1 0(,或,f(x)0),(3),确认并指出递增区间（或递减区间）,2,、证明可导函数,f(x),在,(a,b),内的单调性的方法：,(1),求,f(x),(2),确认,f(x),在,(a,b),内的符号,(3),作出结论,1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：2、证明可导函数f(x,17,作业：,已知函数,f(x)=ax,+3x-x+1,在,R,上是减函数，求,a,的取值范围。,作业：,18,例,3,如图,水以常速,(,即单位时间内注入水的体积相同,),注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度,h,与时间,t,的函数关系图象,.,(A),(B),(C),(D),h,t,O,h,t,O,h,t,O,h,t,O,例3 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入,19,练习,判断下列函数的单调性,并求出单调区间,:,练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:,20,一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”,(,向上或向下,),;,反之,函数的图象就“平缓”一些,.,如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或,内的图象,平缓,.,一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,21,练习,2.,函数 的图象如图所示,试画出导函数,图象,的大致形状,练习2.函数 的图象如图所示,22,练习,3.,讨论二次函数 的单调区间,.,解,:,由,得,即函数 的递增区间是,;,相应地,函数的递减区间是,由,得,即函数 的递增区间是,;,相应地,函数的递减区间是,练习3.讨论二次函数,23,