单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/4/13,#,2,4,.,1,圆的有关性质/,2,4,.,1,圆的有关性质/,24.1,圆的有关,性质,24.1.2,垂直于弦的直径,人教版,数学,九,年级 上册,24.1 圆的有关性质人教版 数学 九年级 上册,1,你,知道赵州桥吗,?,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,导入新知,你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度,2,3.,灵活运用,垂径定理,解决有关圆的问题,.,1.,进一步认识圆，了解,圆是轴对称图形,.,2.,理解,垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题,.,素养目标,3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.1.进一步认识圆,实践探究,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,任何一条直径所在直线都是它的对称轴,探究新知,圆的轴对称性,知识点,1,实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重,4,（,1,）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,圆的对称性,圆是轴对称图形，,任意一条直径所在直线都是圆的,对称轴,.,O,说一说,（,2,）如何来证明圆是轴对称图形呢？,探究新知,（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能,B,O,A,C,D,E,是轴对称图形,大胆猜想,已知：在,O,中，,CD,是直径，,AB,是弦，,CD,AB,，垂足为,E,【,思考,】,左,图是轴对称图形吗,？,探究新知,满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？,BOACDE 是轴对称图形大胆猜想 已知,6,证明：,连结,OA,、,OB,.,则,OA,OB,又,CD,AB,，,直径,CD,所在的直线是,AB,的垂直平分线,.,对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线,CD,的对称点，即,O,关于直线,CD,对称,.,B,O,A,C,D,E,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴,.,探究新知,证明：连结OA、OB.BOACDE 圆是轴对称,7,如,图，,AB,是,O,的一条弦,直径,CD,AB,垂足为,E.,你能发现图中有那些相,等的线段和劣弧,?,为什么,?,线段,:,AE,=,BE,弧,:,AC=BC,AD=BD,理由：,把圆沿着直径,CD,折叠时,，,CD,两侧的两个半圆重合，点,A,与点,B,重合,，,AE,与,BE,重合,，,AC,和,BC,AD,与,BD,重合,O,A,B,D,E,C,探究新知,垂径定理及其推论,知识点,2,如图，AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E,垂径定理,O,A,B,C,D,E,垂直于弦的直径,平分弦,并且,平分弦所对的两条弧,.,CD,是直径,，,CD,AB,，,AE,=,BE,AC,=,BC,AD,=,BD,.,推导格式：,温馨提示：,垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如,.,探究新知,垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的,想一想：,下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为,CD,没有过圆心,A,B,O,C,D,E,O,A,B,C,A,B,O,E,A,B,D,C,O,E,探究新知,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什,垂径定理的几个基本图形：,A,B,O,C,D,E,A,B,O,E,D,A,B,O,C,A,B,O,D,C,探究新知,归纳总结,垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABO,【,思考,】,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？,过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧,.,上述五个条件中的,任何两个条件,都可以推出其他三个结论吗？,一条直线,过圆心,垂直于弦,平分弦,平分线所对的优弧,平分弦所对的劣弧,具备其中两条,其余三条成立,探究新知,【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所,D,O,A,B,E,C,举例证明其中一种组合方法。,已知,:,求证：,CD,是直径,CD,AB,，垂足为,E,AE,=,BE,AC,=,BC,AD=BD,探究新知,证明猜想,DOABEC举例证明其中一种组合方法。C,如图，,AB,是,O,的一条弦，作直径,CD,，使,AE=BE.,（,1,）,CD,AB,吗？为什么？,（,2,）,B,D,（,2,）,由垂径定理可得,AC,=BC,，,AD=BD.,（,1,）连接,AO,BO,则,AO,=,BO,又,AE,=,BE,，,OE,=,OE,AOE,BOE,（,SSS,），,AEO,=,BEO=,90,，,CD,AB,.,证明举例,AC,与,BC,相等吗,？,AD,与,BD,相等吗,？,为什么？,探究新知,D,O,A,B,E,C,证明：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.BD（2,14,思考：,“,不是直径,”这个条件能去掉吗？,如不能,，请举出反例,.,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,.,垂径定理,的推论,O,A,B,C,D,特别说明：,圆的两条直径是互相平分的,.,探究新知,归纳总结,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？平分弦（不是直径,例,1,如图，,OE,AB,于,E,，若,O,的半径为,10cm,OE,=6cm,则,AB,=,cm,.,O,A,B,E,解析：,连接,OA,，,OE,AB,，,AB,=2,AE,=16,cm,.,16,cm.,素养考点,1,垂径定理及其推论的计算,探究新知,例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OA,1,.,如图，,O,的弦,AB,8cm,，直径,CE,AB,于,D,，,DC,2cm,，,求半径,OC,的长,.,O,A,B,E,C,D,解：,连接,OA,，,CE,AB,于,D,，,设,OC,=,x,cm,，,则,OD,=,x,-2,根据勾股定理，得,解得,x,=5,，,即半径,OC,的长为,5cm.,x,2,=4,2,+(,x,-2),2,，,巩固练习,1.如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于,例,2,已知：,O,中弦,AB,CD,求证：,AC,BD,.,.,M,C,D,A,B,O,N,证明：,作直径,MN,AB,.,AB,CD,，,MN,CD,.,则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,利用垂径定理及推论证明相等,平行弦夹的弧相等,素养考点,2,探究新知,例2已知：O中弦ABCD,.MCDABON证明：作直,解决有关弦的问题，经常是,过圆心作弦的弦心距,（垂线段），或,作垂直于弦的直径,，,连结半径等辅助线,，为应用垂径定理创造条件,.,归纳总结,探究新知,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段）,2.,如,图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，,求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,又,AC,=,AB,AE,=AD,四边形,ADOE,为,正方形,.,证明：,OE,AC,，,OD,AB,，,AB,AC,OEA,=,EAD,=,ODA,=90,四边形,ADOE,为矩形，,AE,=,AC,AD,=,AB,巩固练习,2.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD,20,例,3,根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗,?,素养考点,3,垂径定理的实际应用,探究新知,例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半,解：,如图，用,AB,表示主桥拱，设,AB,所在圆的圆心为,O,，,半径为,R.,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,垂足为,D,，与弧,AB,交于点,C,，,则,D,是,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,.,AB,=37m,，,CD,=7.23m.,解得,R,27.3,（,m,）,.,即主桥拱半径约为,27.3m.,R,2,=18.5,2,+(,R,-7.23),2,AD,=,AB,=18.5m,，,OD,=,OC,-,CD,=,R,-7.23.,探究新知,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R,3.,如图,a,、,b,一弓形弦长为,cm,，弓形所在的圆的半径为,7cm,，则弓形的高为,.,C,D,C,B,O,A,D,O,A,B,图,a,图,b,2cm,或,12cm,巩固练习,3.如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的,在圆中有关弦长,a,半径,r,弦心距,d,（,圆心到弦的距离,），弓形高,h,的计算题时，常常通过,连半径,或作,弦心距,构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解,.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦,a,，,弦心距,d,，,弓形高,h,，,半径,r,之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,A,B,C,D,O,h,r,d,d+h=r,O,A,B,C,归纳总结,探究新知,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦,巩固练习,连接中考,C,巩固练习连接中考C,1.,已知,O,中，弦,AB,=8cm,，圆心到,AB,的距离为,3cm,，则此圆的半径为,.,5cm,课堂检测,基础巩固题,2.,O,的直径,AB,=20cm,BAC,=30,则弦,AC,=,.,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，,3.,（分类讨论题）已知,O,的半径为,10cm,，弦,MNEF,且,MN,=12cm,EF,=16cm,则弦,MN,和,EF,之间的距离为,.,14cm,或,2cm,课堂检测,基础巩固题,3.（分类讨论题）已知O的半径为10cm，弦MNEF,且,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。你认为,AC,和,BD,有什么关系？为什么？,证明：,过,O,作,OE,AB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE,.,AE,CE,BE,DE,即,AC,BD,.,.,A,C,D,B,O,E,课堂检测,能力提升题,已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,点,O,是弧,CD,的圆心,),其中,CD,=600m,E,为弧,CD,上的一点,且,OE,CD,，垂足为,F,EF,=90m.,求这段弯路的半径,.,解,:,连接,OC.,O,C,D,E,F,设这段弯路的半径为,R,m,则,OF,=(,R,-90)m.,根据勾股定理，得,解得,R,=545.,这段弯路的半径约为,545m,.,课堂检测,拓广探索题,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线满足,:,过圆心,;,垂直于弦,;,平分弦（不是直径）,;,平分弦所对的优,弧,;,平分弦所对的劣弧,.,“知二推三”,垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线：,连半径，作弦心距,构造,Rt,利用勾股定理计算或建立方程,.,基本图形及变式图形,课堂小结,垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;,课后作业,作业,内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习,七彩课堂 伴你成长,七彩课堂 伴你成长,32,