单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.6 线性方程组解的结构,3.6 线性方程组解的结构,1,一、齐次线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,2,1解的性质,性质1,(1),的两个解的和还是,(1),的解;,性质2,(1),的一个解的倍数还是,(1),的解;,性质3,(1),的解的任一线性组合还是,(1),的解,1解的性质性质1 (1)的两个解的和还是(1),3,2 基础解系,定义,齐次线性方程组(1)的一组解,1,2,r,，若满足,1),1,2,r,线性无关；,2)齐次线性方程组(1)的任意一解都可由,1,2,r,线性表出；,则称,1,2,r,为齐次线性方程组(1)的一个基础解系；,2 基础解系定义 齐次线性方程组(1)的一组解,4,4 基础解系存在性,定理,在齐次线性方程组(1)有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于,n,r,其中,r,为方程组系数矩阵的秩。,4 基础解系存在性定理 在齐次线性方程组(1)有非零,5,证,：若,r=n,方程组只有零解，不存在基础解系,若,R,(,A,)=,r,n,，不妨设,则(1)可写成,证：若r=n,方程组只有零解，不存在基础解系若R(A)=,6,我们知道自由未知量的任意一组值都确定了方程组(1)的一个解。,用组数(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)来代替自由未知量,(x,r,+1,x,n,),就得到(2)的解，也就是(1)的,n,r,个解,:,我们知道自由未知量的任意一组值都确定了方程组,7,要证明(3)是(1)的基础解系，需证,1,2,n-r,线性无关,令,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n-r,n-r,=0,则,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n-r,n-r,=(*,*,k,1,k,2,k,n-r,)=0，从而,k,1,=,k,2,=,k,n-r,=0,所以,1,2,n-r,线性无关。,要证明(3)是(1)的基础解系，需证 1,2,n,8,任取(1)的一个解,可由,1,2,n-r,线性表出,由于,1,2,n-r,是,(1),的解,所以线性组合,c,r,+1,1,+,c,r,+2,2,+,c,n,n-r,也为,(1),的解，比较二者的后,n,r,个分量可知，自由未知量相同，故二者是同一个解，即是,设,=(,c,1,c,2,c,n,),是(1)的任意一个解,=,c,r,+1,1,+,c,r,+2,2,+,c,n,n-r,任取(1)的一个解,可由1,2,n-r线性表出,9,由，为(1)的一个基础解系,例1,求齐次线性方程组,的基础解系,由，为(1)的一个基础解系例1求齐次线性方程组的,10,推论,任一线性无关的与(1)的某一基础解系等价的向量组都是(1)的基础解系,推论 任一线性无关的与(1)的某一基础解系等价的向,11,二、,一般线性方程组解的结构,如果,b,1,=,b,2,=,b,s,=0,则得到方程组(1)，,称齐次方程组,(1)为方程组(4)的导出组。,二、一般线性方程组解的结构如果b1=b2=bs=0,12,性质1,线性方程组(4)的任意两个解的差为其导出组(1)的解,性质2,线性方程组(4)的任意一个解与导出组(1)的任意一个解之和是线性方程组(4)的解.,性质1 线性方程组(4)的任意两个,13,解的结构,定理,若,0,为(4)的一个特解，则方程组(4)的任一解,皆可表成,=,0,+,其中,为其导出组,(1)的一个解,从而,方程组(4)的一般解为,=,0,+,k,1,1,+k,2,2,+k,nr,n,r,其中,0,为(4)的一个特解，,1,2,n,r,为导出组的一个基础解系,解的结构定理 若0为(4)的一个特解，则方程组(4,14,推论,方程组(4)在有解的条件下,有唯一解(4)的导出组(1)只有零解,推论 方程组(4)在有解的条件下,有唯一解(4)的导出组,15,求一般线性方程组(4)的一般解,步骤：,1）求出其导出组的基础解系,1,2,nr,2）求出(4)的一个特解,0,；,3）写出(4)的一般解为,=,0,+,k,1,1,+k,2,2,+k,nr,n,r,求一般线性方程组(4)的一般解步骤：1）求出其导出组的基,16,例求解方程组,例求解方程组,17,