第 六 章,逻辑代数与逻辑控制系统,第 六 章,开关代数或布尔代数 变量1“有输入”“有输出”“有气”“接通”,0“无输入”“无输出”“无气”“切断”,一、基本逻辑运算：,基本逻辑,逻辑与,逻辑或,逻辑非,布尔函数,S=a,b,c,n,S=a+b+c+,n,S=,符号（我国）,运算式,1,1=1,1+1=1,=0,1,0=0,1+0=0,=1,0,1=0,0+1=1,0,0=0,0+0=0,6-1逻辑代数,开关代数或布尔代数 变量1“有输入”“有输出”“有,真值表,a,b,S,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,说明：两个以上信号同时输入,才有输出,两个以上信号有任何一个,输入时既有输出,有信号输入时无输出 反相器,无信号输入时有输出,真值表abS111说明：两个以上信号同时输入,二、基本定律,：,1、交换律:a+b=b+a a,b=ba,2、结合律:a+(b+c)=(a+b)+c a,(bc)=(ab)c,3、分配律:a(b+c)=ab+ac (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,三、形式定律,：,1、吸收律,；,a+(ab)=a;a(a+b)=a,2、展开律；,(,a+b)(a+b)=a;ab+a,b,=a,3、反映律；,a+,a,b=a+b;a(a+b)=ab,4、德摩根定律（反相律）:ab=a+b,a+b=ab,5、重复律,a+a+a=a、ab+ab+ab=ab、aaa=a、,ababab=ab；,二、基本定律：,6、过渡律:,ab+ac+bc=ab+ac,(a+b)(a+c)(b+c)=(a+b)(a+c),7、交叉换位律:,(a+b)(a+c)=ac+ab,ab+ac=(a+c)(a+b),8、逆相结合律（a+a=1、aa=0）；,9、否定之否定定律 a=a,四、运算规律和对偶定理：,1、运算定律：按非与或，先括号内,后括号外的顺序,2、对偶定律：逻辑代数存在或与、0、1对偶互换性,6、过渡律:,6-2 逻辑函数、真值表和基本逻辑门,1、逻辑函数：,由逻辑变量及逻辑关系组成的逻辑代数式S=f(a,b,c),2、真值表：,逻辑函数及逻辑自变量之间的全部数值罗列在一个表中。,3、基本逻辑门：,具有基本逻辑功能的元器件（基本逻辑单元）,6-2 逻辑函数、真值表和基本逻辑门1、逻辑函数：,第六章-逻辑代数与逻辑控制系统课件,第六章-逻辑代数与逻辑控制系统课件,4.逻辑图,逻辑图：,将逻辑函数分解成若干基本逻辑门，再按逻辑函数,要求构成逻辑图。,由此可作出其逻辑原理图，如图6-4所示。,4.逻辑图 逻辑图：将逻辑函数分解成若干基本逻辑门,6.3,逻辑代数法设计逻辑线路,控制系统的输入与输出之间的逻辑关系称为逻辑函数。逻辑函数的表写有两种方法：与.或法，或.与法。,(1)与.或法,与.或法是将真值表中s=1的变量组中的各变量先求积，再求所有s=1的积式的和。在s=1的积和式中，变量为“1”，则取该变量的本身；变量为“0”，则取该变量的非。,(2)或.与法,或.与法是将真值表中s=0变量组中的各变量先求和，再求所有s=0和式的积。在s=0和积式中，变量为“1”，则取该变量的本身；变量为“0”，则取该变量的非。,6.3 逻辑代数法设计逻辑线路,第六章-逻辑代数与逻辑控制系统课件,6-4 卡诺图法设计逻辑线路,一、用卡诺图化简逻辑函数,用卡诺图化简逻辑函数是一个既简单又直观的方法。卡诺图是真值表的变换，它比真值表更明确地表示出逻辑函数的内在联系。使用卡诺图可以直接写出最简逻辑函数避免了繁杂的逻辑代数运算。,卡诺图是一个如同救生圈状的立体图形，为了便于观察和研究，将它沿内圈剖开，然后横向切断并展开得到一个矩形图形。,若自变量为一个，则卡诺图上有两个方格，自变量为2个，则卡诺图上有四个方格，自变量为3个，有八个方格，方格数是自变量的可能排列组合数，即方格数为2（n为自变量的个数）个。图6-5作出了自变量为,14个的卡诺图。,6-4 卡诺图法设计逻辑线路一、用卡诺图化简逻辑函数若自变,由逻辑函数填卡诺图的方法是先将函数化成与或式，在卡诺图方格中，属于函数式之与项的格子填上“1”，不属于函数式之与项的格子填入“0”。因为有该项的格子表示该组函数傎为“1”。,由逻辑函数填卡诺图的方法是先将函数化成与或式，在卡诺图方格,例：作出逻辑函数,的卡诺图。,由逻辑函数,可知，该逻辑函数有三个变量，所以卡诺图应有8个格子。按上述填写卡诺图的方法可作出卡诺图如图6-6。,有了卡诺图便可直接由卡诺图写出逻辑函数的最简形式。在列写最简逻辑函数式时，也有两种方法，即“与或”式和“或与”式。,a）由卡诺图写“与或”式逻辑函数,1、将卡诺图上值为“1”的格子分成若干组，分组的办法：,（1）,相邻的方格可划为一组，所说的相邻方格是指方格边线共用，应指出的是卡诺图的上、下两边是一个边分开的，两端边线也是一条线切开的。,（2）,每组取的方格数应按2规律选取，且必须组成矩形（也包括方形）。,（3）,每组方格数应尽量按上述规定多取，卡诺图中任一方格均可被几个不同的组重复使用。每组方格数取得越多，则函数的逻辑表达式越简单。,例：作出逻辑函数的卡诺图。由逻辑函数可知，该逻辑函数有三个变,2、确定每组的“与”函数。,确定的办法是：凡是在该组中取不同值的自变量均被消去，余下的自变量相乘便得出该组的“与”式。,3、把各组写成的“与”式相加，就得出逻辑函数的最简“与或”式。,根据上述原则，将卡诺图6-6分成两组，见图6-7。第一组的“与”式为,，第二组“与”式为ab，,所以逻辑函数为,2、确定每组的“与”函数。确定的办法是：凡是在该组中取不同值,由上述方法，也可将卡诺图6-6分组成如图6-8所示。,b）由卡诺图写“或与”式逻辑函数,由卡诺图写“或与”式逻辑函数的方法与写“与或”式逻辑函数的方法基本类似。,1）把卡诺图中具有“0”的格子按上述原则分组。,2）写出每组的“或”函数式，在同一组中自变量相反的消去，自变量与格内值相同的取原码，不同的取反码。并把其相加，得出该组的“或”式，再将各组“或”式相乘就得到逻辑函数最简“或与”式。,由上述方法，也可将卡诺图6-6分组成如图6-8所示。,第一组“或”式为a，第二组“或”式为,相乘后得最简“或与”式逻辑函数为,二、卡诺图法在逻辑线路设计中的应用,逻辑代数是设计逻辑线路的重要数学工具，而卡诺图为逻辑函数化简提供了简便方法，从整个逻辑控制系统来说，还需要有启动信号（手动或自动）主控阀（双气控换向阀）及执行机构等，才能组成较完善的逻辑控制系统。,下面举例说明应用卡诺图法设计逻辑控制中的问题。,例1、设某逻辑控制系统，它由两个气动缸A，B及四个按钮a，b，c，d组成，其动作要求是：,（1）按钮 a接通：A缸进，B缸退；,（2）按钮 b接通：B缸进，A缸退；,（3）按钮 c接通：A缸进，B缸退；,第一组“或”式为a，第二组“或”式为相乘后得最简“或与”式,（4）按钮 d接通：A缸退，B缸退；,（5）按钮 a，b都通：A，B缸都退；,（6）按钮a，b，c，d都不通：A，B两缸保持原状态。,按上述设计要求，可列出它们相互关系的真值表，如表6-5所示。,表6-5,输 入,输 出,a,b,c,d,A0,A1,B0,B1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,（4）按钮 d接通：A缸退，B缸退；（5）按钮 a,表中A,0,表示A缸退；,A,1,表示A缸进；,B,0,表示B缸退；,B,1,表示B缸进。,由真值表可知，四个逻辑函数A1，A0，B1，B0都包含有四个自变量a，b，c，d，即,为了利用卡诺图设计逻辑线路，先根据真值表作出卡诺图如图6-9所示。,表中A0表示A缸退；A1表示A缸进；B0表示,第六章-逻辑代数与逻辑控制系统课件,用“与或”法由卡诺图写出最简逻辑函数为：,卡诺图中没有确定值的空格是生产中不出现的情况，可以任意假定。,根据写出来的四个逻辑函数，可画出气动逻辑线路图如图6-10所示。,除了用气动元件组成逻辑线路外，还可用逻辑元件组成控制图如图6-11所示。,用“与或”法由卡诺图写出最简逻辑函数为：卡诺图中没有确定,T T,T T,T T,T T,n,b,c,d,T T,T T,ab,ab,A,0,=d+b,A,1,=c+ab,B,0,=a+d,B,1,=c+ab,B,A,图 6-10,T TT TT TT,第六章-逻辑代数与逻辑控制系统课件,例2电厂四个气动阀门A.B.C.D,生产中可能出现如下八种情况其中1.4.6为报警状况试设计汽笛自动报警逻辑控制线路,例2电厂四个气动阀门A.B.C.D,生产中可能出现如下八种情,