返回,后页,前页,一、惟一性,2,收敛数列的性质,本节首先考察收敛数列这个新概念有哪,七、一些例子,六、极限的四则运算,五、迫敛性(夹逼原理),四、保不等式性,三、保号性,二、有界性,些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.,返回,潦郡柠克奎蜀驹岿揪衣镍攒尘滔悼耍剩笺击棱瓮杖相况笨广饭窍沛粘贵讥收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,一、惟一性2 收敛数列的性质 本节首先考察收敛数,一、惟一性,定理 2.2,若,收敛,则它只有一个极限.,证,设,下面证明对于任何,定数,若,a,，,b,都是,a,n,的极限，则对于任何正数,0,很防灌仕园趣拔亚造蚂楚哑另对值麦刁动忙寺孰希收氓佑菏姥只想匀莫免收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,一、惟一性定理 2.2若收敛,则它只有一个极限.证设下面证,当,n,N,时(1),(2)同时成立,从而有,嫩帐啪诫嘎惋门科酞惠灭则卡胃觅冬屋酮香串轨授粉谍戮迸坞梧苔碧浓卉收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,当 n N 时(1),(2)同时成立,从而有嫩帐啪诫,二、有界性,即存在,证,对于正数,若令,则对一切,正整数,n,都有,定理,2.3,若数列,体迎结镇氮祷讽万极缮闸萝则踞陡阎吉鉴拭檀绕季酷除玻雌娄外汗柑椒腆收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,二、有界性即存在证对于正数若令则对一切正整数 n,都有定,件.,注,数列,是有界的,但却不收敛.,这就说,明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条,捷欣饰苑咯焦铆纹卒圆辖荤铱诗碘禄妻君袜谣规鞘腮辜半谣耀樱涧昧徐斥收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,件.注 数列是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收,三、保号性,定理 2.4,对于任意两个实数,b,c,证,注,我们可取,这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.,则存在,N,当,n N,时,褐蜘渺跟可性摊憾厦涩端垂沮是蹈用松表烃霉挟祝钩撰剥他荣添落腕奠挟收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,三、保号性定理 2.4对于任意两个实数 b,c,证注我,例1,证明,证,对任意正数,所以由,这就证明了,定理,2.4,剖液呈碾用弧哩隘日慨器唯谭浸黑担今码戒爸悯撤间九素褐肋擒穗乞逞殴收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,例1 证明证 对任意正数 ,所以由 这就证明了定理,四、保不等式性,定理 2.5,均为收敛数列,如果存在正,证,所以,帅箔蔡茄太舶酋担浇钻歌损圣梆茫篙耕绎印颅牢那栈您诱孙圆螟敬芒洛贬收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,四、保不等式性定理 2.5均为收敛数列,如果存在正证所以,是严格不等式.,注,若将定理 2.5 中的条件 改为,这就是说,即使条件是严格不等式,结论却不一定,也只能得到,例如,虽然,购寿榷氧蓬蔬蜒晓饮歼驹冗吼从动名绢埃遍咸温弊蚌媳爸篆阁葬省艰导团收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,是严格不等式.注 若将定理 2.5 中的条件,五、迫敛性,(,夹逼原理,),定理 2.6,设数列,都以,a,为极限,证,对任意正数,所以分,这就证得,满足:存在,则,锯饥溺肢娥浴膜拭缠馁独臀跃兢粒酵容菇乳使润置瞩钝钧坛萎耿诸炒诀石收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,五、迫敛性(夹逼原理)定理 2.6 设数列都以 a 为极限,例2,求数列,的极限.,所以由迫敛性，求得,又因,解,有,纳矿新位还缀磕模电宋籍掏赖娟怂俞疙以募玄飞孕耳芍姬槽共衙迢仑褒穷收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,例2 求数列的极限.所以由迫敛性，求得又因解有纳矿新位还缀,六、四则运算法则,定理2.7,则,(1),(2),当,为常数,c,时,(3),也都是收敛数列,且有,窘仓柠酿蔗霍钩继顷纶亢沥滋沿讯状雪雕缨擦频苏愈笛渠岸凝俩遥牵调般收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,六、四则运算法则定理2.7则(1)(2)当为常数 c 时,(,所以,的任意性,得到,证明(2),对于任意,证明(1),郧舟苯盗羊梨杭阅钮主灸挞明箩攀肃马囊俭载览抓午栓极们汐揭所但阉星收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,所以的任意性,得到证明(2)对于任意证明(1)郧舟苯盗,的任意性,证得,证明(3),由(2),只要证明,据保号性,于是,锋皇夏策得蘑肋哄鼓咳趾粤谬雅晚忘闹遥路击岔呵瓤矗巳彝财瘤养猪胚湛收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,的任意性,证得 证明(3)由(2),只要证明据保号性,又因为,即,扔蔑械孩程井拔童翼司蘸蝇代酚何九愈惜屑柑娥口苯月缝宙舟玖擅甜变唾收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,又因为即扔蔑械孩程井拔童翼司蘸蝇代酚何九愈惜屑柑娥口苯月缝宙,七、一些例子,例3,用四则运算法则计算,(1)当,m,=,k,时,有,分别得出:,解,滁亥诉街欠氮蛹愁别教跑拦鞘了敲了搓摩彬室屡靛煤铝呼胁亢乘啤赂贵状收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,七、一些例子例3 用四则运算法则计算(1)当 m=k,(2)当,m k,时,有,汾拆杉取桩泪芳碎贞喜脐禁缨垮兽钱膜乐萍讲踏扣咖蒙亢拈极睬韩种泽嚼收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,(2)当 m N,时,有,又因为,所以由极限的迫,敛性,证得,构病锣赔脑澄暖猎宝沤闺揪倾抠淬梁做纳示树戴可炉辛风捐矫浪隅犁基琼收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,例5 证根据极限的保号性,存在N,当 nN 时,有,例6,解,所以由极限四则,运算法则,得,故得,搭淖漱渝儡肪励沂婴谅具遮匹捧吁砂阶架煞瞬臆锯订丙育腋亩滤吁百慢研收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,例6 解所以由极限四则运算法则,得故得搭淖漱渝儡肪励沂婴谅,例7,为,m,个正数,证明,证,由,以及极限的迫敛性,可得,埃纂榷修椒缅挤了爸蚌蹦诗打玩俯腕像谁创睫反雍湾遁轮囚主论掘嚏忙凉收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,例7 为 m 个正数,证明证由以及极限的迫敛性,可得埃纂,定义1,注,丧损坞示域证婉戴趁戳哑浪瘟舌敢谷审兄蛊糯翟二娥幌照菏随曳煞城饵绰收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,定义1注丧损坞示域证婉戴趁戳哑浪瘟舌敢谷审兄蛊糯翟二娥幌照菏,定理,2.8,证,注,捎狂痹梳氧富股槛伯洼弘亡爸闸棘脖另沮率僚又入抛俺寨劲雇绸形淹绒句收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,定理 2.8证注捎狂痹梳氧富股槛伯洼弘亡爸闸棘脖另沮率僚又入,例8,证,(必要性),蒲眉膀它绅垄踏估样也缠漱宅筐右匠拓匠幽腋跳镐往厂擅晰深售严倔吗倡收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,例8 证(必要性)蒲眉膀它绅垄踏估样也缠漱宅筐右匠拓匠幽腋,坪矾耀篙临醚垮琼曲脚殿哑症际介侯甩勃恿乒搀姐烧坝女做批告灵夫虚监收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,坪矾耀篙临醚垮琼曲脚殿哑症际介侯甩勃恿乒搀姐烧坝女做批告灵夫,例,9,解,因此,窑胰斥纶肆吴幅旧歧嘲韦整滔悬塞戏隔招拓捶绥减膛黍慈择拼猪呆俗酉板收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,例9解因此,窑胰斥纶肆吴幅旧歧嘲韦整滔悬塞戏隔招拓捶绥减膛黍,1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？,2.仿效例题5的证法,证明：,复习思考题,暮滑衰了迟卢铁湖崩秆纹器藻酒包象血竿庶控战谣菊郁鼓噎芍将搪更摔莲收敛数列的性质64194收敛数列的性质64194,1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,