,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高,等,数,学,bellarsina,龚文玥,高 bellarsina龚文玥,1,第一章函数与极限,第二章导数与微分,第三章不定积分,第四章定积分及其应用,*,第五章无穷级数,第六章空间解析几何,第七章 多元函数及其微分法,第八章 多元函数积分法,第九章 常微分方程及其应用,*,第十章 数学计算软件的介绍,第一章函数与极限,2,第一节 函数,第二节 初等函数,第三节 极限,第四节 极限的运算,第五节 函数的连续性,第一章函数与极限,第一节 函数第一章函数与极限,3,一、函数定义,1、,定义,：设x 和y是两个变量。是一个给定的,数集，如果对于每个 ，按f法则变量y总有,唯一的数值和它对应，则称f为D上的一个函数。,记作,其中x为自变量，y为因变量，,函数三要素:函数关系、定义域、值域。,2、函数的表示法：解析法、列表法、图示法,3、函数举例,一、函数定义1、定义：设x 和y是两个变量。是一个给定的函,4,符号函数,在定义域的不同部分，采用不同表达式的函数，,称为,分段函数,。,绝对值函数,符号函数在定义域的不同部分，采用不同表达式的函数，绝对值函数,5,取整函数 ,即结果为不超过x的最大整数。,取整函数 ,即结果为不超过x的最大,6,、函数的有界性,设y=f(x)在(a,b)内有定义。若存在0,使得对所 有 ，有 ，则称函数在(a,b)内有界。如果不存在这样的，则称函数在(a,b)内无界。,二、函数的性质,2、单调性,3、奇偶性,4、周期性,、函数的有界性二、函数的性质2、单调性3、奇偶性4、周期性,7,三、复合函数 反函数,1、,复合函数定义,设y=f(u)是数集E上的函数，是从数集D到,数集E的函数，对 ，经过中间变量u，,都有唯一的y与之对应，则产生新函数称为数集D上,的复合函数。,记作,注意,：并不是任意的函数都可以复合,例：和 能否复合？,和 呢？,三、复合函数 反函数1、复合函数定义设y=f(u)是,8,设有函数y=f(x)，若对于 ，在数集D上有,唯一的x与之对应，则得到 ，称为,y=f(x)的反函数。,记作,定理,若函数y=f(x)是定义在数集D上的单调函数，则它的反函数必存在且也在对应的区间上单调。,2、,反函数定义,例 在整个定义域上不存在反函数。但适当,限制定义域后，就存在反函数。,设有函数y=f(x)，若对于 ，在,9,常量,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,二、初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算及复合步骤所构成，可用一个解析式表示的函数。,一、基本初等函数,(C是常数),常量二、初等函数一、基本初等函数(C是常数),10,一、数列的极限,1、,数列定义,：若函数f(n)的定义域是 ，当n从,小到大取值，对应函数值的排列,称为数列。,记为 ，其中 称为通项。,引例 请问以下数列是否存在极限，若存在，极限,是多少？,1，-1，1，-1，1，.,一、数列的极限1、数列定义：若函数f(n)的定义域是,11,对 （无论多么小），总 正整数，当n时，有 成立，则称A是 的极限或称,收敛于A。,记为 或,.,若 的极限不存在，则称 发散。,说明：,（1）其中 可以任意给定，它描述了 与A的,无限接近程度；,（2）N随着 的选定而选定且不唯一。,2、,数列极限定义,3、几何意义,对 （无论多么小），总 正整数,12,的极限是1。,用数列定义证明,(1),(2),(3),的极限是1。用数列定义证明(1)(2)(3),13,定理1,收敛数列必有界。,推论,无界数列必发散。,定理2,单调有界数列一定收敛。,4、数列极限的有关结论,有界数列定义,若 ，使一切 都满足,，则称 有界。,若不存在，则数列 无界。,例问 ，,是否有界。,定理1 收敛数列必有界。4、数列极限的有关结论有界数列,14,二、函数的极限,（一）时函数的极限,1、,定义,对于 （无论多么小），如果总 ，使得当 时，有 ，则A叫做当 时 的极限，,记作 或,2、几何意义,二、函数的极限（一）时函数的极限1,15,例 证明,（二）时函数的极限,1 、,邻域定义,称为 的 邻域，,记作,把中心 去掉，称为 的去心 邻域,即 ，记作,结论,:若 ，则直线y=A是曲线y=f(x)的,水平渐近线。,例 证明（二）时函数的极限1,16,2、,极限定义,若对 ，总 ，当 时，,有 ，则叫做函数当 时的,极限。,记作 或,3、几何意义,例证明,2、极限定义3、几何意义例证明,17,4、左极限与右极限,左极限：或,右极限：或,结论,:极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等,例2问,的极限是否存在。,当时,例1 讨论函数 当 时的极限,4、左极限与右极限结论:极限存在的充要条件是左、右极限存在且,18,（三）无穷小量与无穷大量,说明：,（1）无穷小是一个以0为极限的函数,（2）无穷小不是负无穷,也不是很小的数,（除了常数0）,（3）无穷小必须相对于某一个变化过程而言,1、,无穷小定义1,若当 （或 ）时，函数f(x)的极限为0,则f(x)叫做 （或 ）时的无穷小。,无穷小定义2,对 ,若总 (或X0),当,(或 )时,有 ,则f(x)叫做无穷小.,（三）无穷小量与无穷大量说明：（1）无穷小是一个以0为极限的,19,讨论:数列1,0,2,0,.n,0,是无穷大量吗？,2、,无穷大定义1,在x的某个变化过程中，如果 无限增大，则称,函数f(x)是在这个变化过程中的无穷大。,若函数f(x)对 （无论多么大），总,（或X0)，当 （或 ）时，有,则称 （或 ）时，f(x)为无穷大。,记作,无穷大定义2,讨论:数列1,0,2,0,.n,0,是无穷大量吗？2,20,例证明,1,结论,：如果 ,则直线,x,=,x,0,是函数,y=f(x),的图形,的垂直渐近线.,例证明1结论：如果 ,21,3、无穷大与无穷小的关系,在自变量的同一变化过程中,为无穷大 为无穷小,为无穷小 为无穷大,3、无穷大与无穷小的关系在自变量的同一变化过程中为无穷大,22,定理1,有限个无穷小的和也是无穷小。,定理2,有界函数与无穷小的乘积是无穷小。,推论1,常数与无穷小的乘积是无穷小。,推论2,有限个无穷小的乘积是无穷小。,例 求,一、无穷小量的运算,定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。定理2 有界函数与,23,加、减法,乘法,除法,二、极限的四则运算,加、减法乘法除法二、极限的四则运算,24,1、,例 求极限：,2、,3、,4、,1、例 求极限：2、3、4、,25,5、,6、,7、,8、,9、,5、6、7、8、9、,26,三、极限存在准则与两个重要极限,那么 limf(x)=A,若当 （或 ）时，恒有,且,重要极限1,C,x,（一）,夹挤定理,三、极限存在准则与两个重要极限那么 limf(x)=A若当,27,例题,2、,1、,3、,4、我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来,推算圆面积割圆术，得到圆面积A是它的内,接正n（)边形的面积 当 时的极限。,怎么得到的呢？,例题2、1、3、4、我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边,28,第1章函数与极限ppt课件,29,（二）,单调有界收敛准则,单调有界数列必有极限。,重要极限2,例1 求下列极限：,（1）,（2）,（3）,（4）,（二）单调有界收敛准则重要极限2例1 求下列极限：（2）,30,例2 设某顾客向银行存入本金p 元，年利率为r,n 年后他在银行的存款总额是本金与利息之和。如果银行规定年复利率为r,试根据下述不同的结算方式计算顾客t年后的最终存款额。,(1)每年结算一次;,(2)每月结算一次,每月的复利率为r/12;,(3)若结算周期变为无穷小,这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方法称为,连续复利,.试计算连续复利情况下顾客的最终存款额.,例2 设某顾客向银行存入本金p 元，年利率为r,n 年,31,例3 在化学反应中，物质的瞬时反应速率与物质,当时的量成正比。设比例系数为k，开始时参加反应物质的量为 。经过 t小时后，未起反应的物质的量为多少？,t小时,分析：将t小时n等分，n很大。在每一时间段中，,反应速率近似看成不变。,起反应的量,为,例3 在化学反应中，物质的瞬时反应速率与物质t小时分析：,32,如果 ，则称 是比,高阶的无穷小,，,记作 ；,如果 ，则称 与 是,同阶无穷小,；,当C=1时，称 与 是,等价无穷小,，记作,四、无穷小量的阶,1、,定义,如果 ，则称 是 的k阶无穷小。,如果 ，则称 是,33,2、等价无穷小的重要性质,例求 例求,若,且 存在，则,当 时，有,2、等价无穷小的重要性质若,34,一、连续函数的概念,定义1,设增量,如果当 时，有 ，,则称函数 在点 连续.,1、连续性定义,一、连续函数的概念定义1设增量1、连续性定义,35,定义2,若 ，则称 f(x)在点 处,连续。,例 用连续的定义证明函数 在R上连续。,一切初等函数在其定义域上是连续的。,、左连续和右连续,左连续：,右连续：,结论,：y=f(x)在点 处连续的充要条件是在点,既左连续又右连续,3、在区间（a,b)、a,b上连续的函数。,定义2 若,36,二、函数的间断点,、,定义,：如果f(x)有下列情形之一,(1)在点 无定义,(2)不存在,(3)在点 有定义，也存在，但,则称点 为函数y=f(x)的间断点或不连续点。,二、函数的间断点、定义：如果f(x)有下列情形之一则称点,37,例1 考察函数 在点x=1处的连续性。,例2,考察 在x=1处,的连续性。,x,y,O,例3 讨论函数 在x=0处的连续性。,例1 考察函数,38,例4 求y=tanx的间断点。,例5 讨论函数 在 x=0处的连续性。,例4 求y=tanx的间断点。例5 讨论函数,39,、间断点的分类：,第一类间断点,和,第二类间断点,不是第一类间断点的，称为,第二类间断点,，其中使得函数极限为 的称为,无穷间断点,；使得函数处于振荡状态的点称为振荡间断点。,、间断点的分类：第一类间断点和第二类间断点不是第一类间断点,40,三、闭区间上连续函数的性质,定理1,（最大值与最小值定理）,若y=f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上必有,最大值与最小值。,推论（有界性定理）,若y=f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b,上必有界。,三、闭区间上连续函数的性质定理1（最大值与最小值定理）若y,41,定理2（介值定理）,设y=f(x)在a,b上连续，,（），则对介于与之间的任意一个数，至少有一点 ，使得,定理2（介值定理）设y=f(x)在a,b上连续，,42,零点,：如果 ，则 称为 的零点，即,方程f(x)=0的根。,推论2(零点定理）,设 在 上连续,且 ，则至少有一点 ，,使,零点：如果 ，则,43,例证明：三次代数方程 在,（0，1）内至少有一个根。,例证明：三次代数方程,44,